• Предмет: Алгебра
  • Автор: kattonq
  • Вопрос задан 1 год назад

Подскажите как решить! Решите систему иррациональных уравнений методом замены переменной
\left \{ {{\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2} = 3,} \atop {2x+y=7.}} \right.

Ответы

Ответ дал: genius20
1

\sqrt[3]{x+2y}=u, \quad \sqrt[3]{x-y+2}=v\\u+v=3\\u^3+v^3=x+2y+x-y+2=2x+y+2=7+2=9\\(u+v)(u^2-uv+v^2)=9\\3(u^2-uv+v^2)=9\\u^2-uv+v^2=3\\u^2+2uv+v^2-3uv=3\\(u+v)^2-3uv=3\\9-3uv=3\\3-uv=1\\uv=2

Получили симметрическую систему:

\begin{cases}u+v=3\\ uv=2\end{cases}

v=3-u\\u(3-u)=2\\3u-u^2-2=0\\u^2-3u+2=0

Корни подбираются по теореме Виета:

u_1=1; \qquad u_2=2

Поскольку система симметрическая, то:

v_1=2; \qquad v_2=1

Вернёмся к исходным переменным.

Первый случай:

\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y}=1\\\sqrt[3]{x-y+2}=2\end{cases}\\\begin{cases}x+2y=1\\x-y+2=8\end{cases}

Вычтем из второго уравнения первое:

x-y+2-(x+2y)=7\\2-3y=7\\3y=-5\\y=-\dfrac 53 \\x-2 \cdot \dfrac 53 =1\\x=1+\dfrac {10}{3}=\dfrac{13}{3}

Второе случай:

\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y}=2\\ \sqrt[3]{x-y+2}=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y=8\\x-y+2=1\end{cases}\\x+2y-(x-y+2)=8-1\\3y-2=7\\3y=9\\y=3\\x+ 2 \cdot 3=8\\x=2

Ответ: x=13/3, y=-5/3 либо x=2, \quad y=3.

Вас заинтересует