Question

Подскажите как решить! Решите систему иррациональных уравнений методом замены переменной
$\left \{ {{\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2} = 3,} \atop {2x+y=7.}} \right.$

Answer 1

$\sqrt[3]{x+2y}=u, \quad \sqrt[3]{x-y+2}=v\\u+v=3\\u^3+v^3=x+2y+x-y+2=2x+y+2=7+2=9\\(u+v)(u^2-uv+v^2)=9\\3(u^2-uv+v^2)=9\\u^2-uv+v^2=3\\u^2+2uv+v^2-3uv=3\\(u+v)^2-3uv=3\\9-3uv=3\\3-uv=1\\uv=2$

Получили симметрическую систему:

$\begin{cases}u+v=3\\ uv=2\end{cases}$

$v=3-u\\u(3-u)=2\\3u-u^2-2=0\\u^2-3u+2=0$

Корни подбираются по теореме Виета:

$u_1=1; \qquad u_2=2$

Поскольку система симметрическая, то:

$v_1=2; \qquad v_2=1$

Вернёмся к исходным переменным.

Первый случай:

$\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y}=1\\\sqrt[3]{x-y+2}=2\end{cases}\\\begin{cases}x+2y=1\\x-y+2=8\end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$x-y+2-(x+2y)=7\\2-3y=7\\3y=-5\\y=-\dfrac 53 \\x-2 \cdot \dfrac 53 =1\\x=1+\dfrac {10}{3}=\dfrac{13}{3}$

Второе случай:

$\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y}=2\\ \sqrt[3]{x-y+2}=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y=8\\x-y+2=1\end{cases}\\x+2y-(x-y+2)=8-1\\3y-2=7\\3y=9\\y=3\\x+ 2 \cdot 3=8\\x=2$

Ответ: $x=13/3, y=-5/3$ либо $x=2, \quad y=3.$