Question

СРОЧНО НУЖНО! Решите систему иррациональных уравнений методом замены переменной:

$\left \{ {{\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2} = 3,} \atop {2x+y=7.}} \right.$

Answer 1

Объяснение:

$\left \{ {{\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2}=3 } \atop {2x+y=7}} \right.$
$\left \{ {{\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2}=3 } \atop {y=7-2x}} \right.$

$\left \{ {{\sqrt[3]{x+14-4x}+\sqrt[3]{x-7+2x+2}=3 } \atop {y=7-2x}} \right.$
$\left \{ {{\sqrt[3]{14-3x}+\sqrt[3]{3x-5}=3 } \atop {y=7-2x}} \right.$
Нехай $\sqrt[3]{14-3x} =a , 14-3x=a^3$, a $\sqrt[3]{3x-5} =b, 3x-5=b^3$;
Тоді $a^3+b^3 = 14-3x+3x-5=9,$ при чому $a+b=3$
Маємо систему:
$\left \{ {{a^3+b^3=9} \atop {a+b=3}} \right.$     $\left \{ {{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=9} \atop {a+b=3}} \right.$   $\left \{ {{(3-b)^2+b^2-(3-b)b=3} \atop {a=3-b}} \right.$

$\left \{ {{3b^2-9b+9=3} \atop {a=3-b}} \right.$     $\left \{ {{b^2-3b+2=0} \atop {a=3-b}} \right.$  $\left \{ {{b=2 , b=1} \atop {a=1, a=2}} \right.$
Повертаємося до заміни:
$\left \{ {{\sqrt[3]{14-3x} =1} \atop {\sqrt[3]{3x-5} =2}} \right.$ або $\left \{ {{\sqrt[3]{14-3x} =2} \atop {\sqrt[3]{3x-5} =1}} \right.$
$\left \{ {{14-3x =1} \atop {3x-5 =8}} \right.$    або $\left \{ {{14-3x =8} \atop {3x-5 =1}} \right.$
$\left \{ {{x=\frac{13}{3} } \atop {x=\frac{13}{3} }} \right.$        або   $\left \{ {{x=2} \atop {x=2}} \right.$

x=13/3      або x=2
Тоді y=7-2x=7-4=3 або y = 7-2(13/3)= -5/3

Відповідь: (2;3) , ($\frac{13}{3}$,$-1\frac{2}{3}$)