Question

{2a ^ 2 - 7ab + 6b ^ 2 = 0; 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1

Answer 1

$\begin{cases} 2a ^ 2 - 7ab + 6b ^ 2 = 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases}$

Преобразуем левую часть первого уравнения следующим образом:

$2a ^ 2 - 7ab + 6b ^ 2 = 2a^2-4ab-3ab+6b^2=$

$= 2a(a-2b)-3b(a-2b)=(a-2b)(2a-3b)$

Тогда получим:

$\begin{cases} (a-2b)(2a-3b)= 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases}$

В первом уравнении произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это означает, что система разбивается на совокупность двух систем:

$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} a-2b = 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases} \\ \begin{cases} 2a-3b= 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases}\end{array}\right.$

Решаем первую систему:

$\begin{cases} a-2b = 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим "а":

$a=2b$

И подставим во второе уравнение:

$3\cdot(2b)^2 - 5\cdot2b\cdot b + b = - 1$

$12b^2 - 10b^2 + b = - 1$

$2b^2 + b +1=0$

$D=1^2-4\cdot2\cdot1 < 0$

Полученное уравнение, а значит и вся первая система не имеет решений.

Решаем вторую систему:

$\begin{cases} 2a-3b= 0 \\ 3a ^ 2 - 5ab + b = - 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим "а":

$a=\dfrac{3b}{2}$

Подставим во второе уравнение:

$3\cdot\left(\dfrac{3b}{2}\right) ^ 2 - 5\cdot\dfrac{3b}{2}\cdot b + b = - 1$

$\dfrac{27b^2}{4} - \dfrac{15b^2}{2} + b = - 1$

$- \dfrac{3b^2}{4} + b = - 1$

$- 3b^2 + 4b = - 4$

$3b^2 - 4b - 4=0$

$D_1=(-2)^2-3\cdot(-4)=16$

$b_1=\dfrac{2+\sqrt{16} }{3} =2\Rightarrow a_1=\dfrac{3\cdot2}{2} =3$

$b_2=\dfrac{2+\sqrt{16} }{3} =-\dfrac{2}{3} \Rightarrow a_2=\dfrac{3\cdot\left(-\dfrac{2}{3} \right)}{2} =-1$

Ответ: $a_1=3;\ b_1=2;\ a_2=-1;\ b_2=-\dfrac{2}{3}$