Question

Задача с параметром. Гроб. Может кто-нибудь помочь?

Answer 1

Ответ:

$a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right]$

Пошаговое объяснение:

Правая часть уравнения принимает значения  $- 1$ или $1$ в зависимости от значений $x$:

при $2k - 1 \le x < 2k \cos (\pi \cdot [x]) = - 1,$

при $2k \le x < 2k + 1 \cos (\pi \cdot [x]) = 1$ для любого целого $k.$

В итоге получается уравнение вида ${\sin ^5}(3x + a) = \pm 1,$ которое равносильно уравнению

$\sin (3x + a) = \pm 1, \\3x + a = \pm \frac{\pi }{2} + 2\pi n, \\x = - \frac{a}{3} \pm \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}, n \in {\rm{Z}}.$

Рассмотрим три промежутка:

1) $1 \le x < 2$

$x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Несложно установить, что только при $n = 1$ корни такого вида при заданном диапазоне $a$ попадают в промежуток $1 \le x < 2.$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3};$

$1 \le \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3} < 2$ при $a \in \left[ {0;\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right].$

2) $2 \le x < 3$

$x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Аналогично, только при $n = 1$ корни такого вида при заданном диапазоне $a$ попадают в промежуток $2 \le x < 3.$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3};$

$2 \le \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3} < 3$ при $a \in \left[ {0;\,\,\frac{{5\pi }}{2} - 6} \right].$

3) $3 \le x \le \pi$

$x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Аналогично, при $n = 2$ корни такого вида при заданном диапазоне $a$ попадают в промежуток $3 \le x \le \pi .$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3};$ $3 \le \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3} \le \pi$  при $\frac{\pi }{2} \le a \le \frac{{7\pi }}{2} - 9.$

Обозначим на рисунке указанные интервалы. Для существования нечетного количества корней выберем промежутки, на которых пересекаются все три из них или находится только один. Получаем $a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right]$.