Question

Решите систему уравнений
$\displaystyle\bf\left \{ {{(2x)^{ln2}=(3y)^{ln3}} \atop {3^{lnx}=2^{lny}}} \right.$

Answer 1

Ответ:

$(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

Объяснение:

Пролагорифмируем по основанию $e$ каждое из уравнений системы. Получим

$\left\{ \begin{array}{l}\ln 2\ln 2x = \ln 3\ln 3y,\\\ln x\ln 3 = \ln y\ln 2.\end{array} \right.$

Пусть $\ln 2 = a,$ $\ln 3 = b,$ $\ln x = u,$ $\ln y = v.$ Тогда

$\left\{ \begin{array}{l}a(a + u) = b(b + v),\\bu = av,\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + au = {b^2} + bv,\\bu - av = 0,\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}au - bv = {b^2} - {a^2},\\bu - av = 0.\end{array} \right.$

Помножим первое уравнение на $b,$ второе на $a$ и отнимем:

$({a^2} - {b^2})v = b({b^2} - {a^2}),$

откуда $v =- b,$ тогда $u =- a.$ Значит $\ln y =- \ln 3,$ $\ln x =- \ln 2,$ откуда $x = \frac{1}{2},$ $y = \frac{1}{3}.$