Question

113 задание
Даю 29 баллов

Answer 1

Ответ:

$\frac{{2\sqrt {481} }}{5}; \frac{{6\sqrt {34} }}{5}$

Пошаговое объяснение:

Ромб $ABCD$ и точка $F$ образуют четырехугольную пирамиду. Факт, что расстояния от точки $F$ до всех сторон ромба равны (зеленые отрезки на рисунке), указывает на то, что точка $F$ проектируется в центр вписанной окружности ромба. Пусть $BD = 12$ см, $AC = 16$ см.

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, треугольник $AOD$ — прямоугольный с катетами 6 см и 8 см, то по теореме Пифагора сторона ромба равна 10 см.

Площадь ромба

$S = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2} = \frac{{12 \cdot 16}}{2} = 96 = ah = 10h = 10 \cdot 2r = 20r,$

откуда $r = 4,8$ см.

Из прямоугольного треугольника $EOF$ по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $FO$:

$FO = \sqrt {F{E^2} - E{O^2}} = \sqrt {{6^2} - {{4,8}^2}} = 3,6$ см.

Из прямоугольных треугольников $AOF$ и $DOF$ по теореме Пифагора найдем расстояния до вершин ромба:

$CF = AF = \sqrt {A{O^2} + F{O^2}} = \sqrt {{8^2} + {{3,6}^2}} = \frac{{2\sqrt {481} }}{5};\\BF = DF = \sqrt {D{O^2} + F{O^2}} = \sqrt {{6^2} + {{3,6}^2}} = \frac{{6\sqrt {34} }}{5}.$