Question

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 19 и дающее остаток 1 при делении на каждое из чисел 3, 4 и 5.

Answer 1

Ответ:

361

Пошаговое объяснение:

Числа 3, 4 и 5 взаимно простые. Число $3\cdot4\cdot5=60$ и, соответственно, число вида $60k, k\in\rm{Z},$ делится на каждое из них без остатка, тогда число вида $60k+1$ будет давать при делении на 3, 4, 5 остаток 1.

Таким образом, задача сводится к решению в целых числах уравнения $60k+1=19n$ либо $19n-60k=1.$

Решим это уравнение.

$n = \displaystyle\frac{{60k + 1}}{{19}} = 3k + \displaystyle\frac{{3k + 1}}{{19}}.$

Обозначим

${t_1} = \displaystyle\frac{{3k + 1}}{{19}},$

тогда

$19{t_1} = 3k + 1,$

$3k = 19{t_1} - 1,$

$k = \displaystyle\frac{{19{t_1} - 1}}{3} = 6{t_1} + \displaystyle\frac{{{t_1} - 1}}{3}.$

Обозначим

${t_2} = \displaystyle\frac{{{t_1} - 1}}{3},$

тогда

$3{t_2} = {t_1} - 1,$

${t_1} = 3{t_2} + 1.$

Подставляя найденное значение в выражение для $k,$ получаем:

$k = \displaystyle\frac{{19{t_1} - 1}}{3} = \displaystyle\frac{{19(3{t_2} + 1) - 1}}{3} = 19{t_2} + 6.$

Тогда

$n = \displaystyle\frac{{60k + 1}}{{19}} = \displaystyle\frac{{60(19{t_2} + 6) + 1}}{{19}} = 60{t_2} + 19.$

Получили выражение для $k$ и $n,$ которые дают пары целых решений рассматриваемого уравнения при любых целых значениях ${t_2}.$

Очевидно, что при ${t_2} = 0$ значение $n$ будет минимальным натуральным.

Следовательно, искомое число равно $19n = 19 \cdot 19 = 361.$