Question

Помогите с решением. $sin^{2}\alpha * cos^{2} \alpha * (tg^{2}\alpha +ctg^{2} \alpha )$

Answer 1

Ответ:

${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha=1 - \displaystyle\frac{{{{\sin }^2}2\alpha }}{2}=\displaystyle\frac{{2 - \cos 4\alpha }}{4}$

Объяснение:

Учитывая, что${\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = \displaystyle\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},$ ${\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha = \displaystyle\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},$ получаем

${\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha ({{\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2}\alpha + {{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}\alpha ) = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {\displaystyle\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \displaystyle\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right) = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha .$

Полученный результат можно преобразовывать и дальше, в зависимости от того, какой результат надо получить. Например, пользуясь универсальным тригонометрическим тождеством ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ и формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,$ можно получить такое:

${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = {({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1 - \displaystyle\frac{{{{\sin }^2}2\alpha }}{2}.$

А понижая степень синуса и пользуясь формулой ${\sin ^2}x = \displaystyle\frac{{1 - \cos 2x}}{2},$

$1 - \displaystyle\frac{{{{\sin }^2}2\alpha }}{2} = 1 - \displaystyle\frac{1}{2}\left( {1 - \displaystyle\frac{{\cos 4\alpha }}{2}} \right) = \displaystyle\frac{{2 - \cos 4\alpha }}{4}.$