• Предмет: Геометрия
  • Автор: MishaMovahi2345
  • Вопрос задан 1 год назад

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания равной 2 точки M и N являются серединами сторон AC и BC соответственно. Угол между прямыми A1N и B1M равен 60°. Определить объем призмы.

Ответы

Ответ дал: GoldenVoice
2

Ответ:

Объем призмы равен 3\sqrt{2}

Объяснение:

(Рис. 1)

Тт. {A_1}, M, N и {B_1} лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию (MN — средняя линия \triangle ABC, поэтому MN\parallel AB\parallel {A_1}{B_1}, MN = \displaystyle\frac{{AB}}{2} = 1, {A_1}M = {B_1}N).

Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.

Далее возможны два варианта: \angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 60^\circ  либо \angle {A_1}OM = \angle {B_1}ON = 60^\circ , тогда \angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 120^\circ  (см. рис. 2).

Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай \angle MON = \alpha , \angle MO{A_1} = 180^\circ  - \alpha . Продлим нижнее основание {B_1}{A_1} за точку {A_1} на длину верхнего основания: {A_1}K = NM = 1. Тогда образовавшийся четырехугольник {A_1}NMK — параллелограмм, N{A_1}\parallel MK, N{A_1} = MK. Значит \angle {B_1}MK = \alpha , а

\angle M{B_1}K = \angle MK{B_1} = \displaystyle\frac{{180^\circ  - \alpha }}{2} = 90^\circ  - \displaystyle\frac{\alpha }{2}.

По теореме синусов

\displaystyle\frac{a}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{b}{{\sin \beta }} = \displaystyle\frac{c}{{\sin \gamma }},

используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:

\displaystyle\frac{{{B_1}K}}{{\sin \angle {B_1}MK}} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \angle B{M_1}K}};

\displaystyle\frac{{2 + 1}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \left( {90^\circ  - \displaystyle\frac{\alpha }{2}} \right)}};

\displaystyle\frac{3}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}};

MK = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.

Треугольники MON и {B_1}O{A_1} подобны, \displaystyle\frac{{MN}}{{{B_1}{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2}, значит и \displaystyle\frac{{NO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{{MO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2}, отсюда

MO = \displaystyle\frac{1}{3}N{A_1} = \displaystyle\frac{1}{3}MK = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}},

O{A_1} = 2MO = \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.

По теореме косинусов для треугольника OM{A_1}

MA_1^2 = M{O^2} + OA_1^2 - 2MO \cdot O{A_1}\cos \angle MO{A_1};

MA_1^2 = \displaystyle\frac{1}{{{{4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} + \displaystyle\frac{1}{{{{\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} \cdot \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}\cos (180^\circ  - \alpha ) =

=\displaystyle\frac{5}{{{{4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - \displaystyle\frac{1}{{{{\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}}( - \cos \alpha ) = \displaystyle\frac{{5 + 4\cos \alpha }}{{{{4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}},

откуда

M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos \alpha } }}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.

Тогда если \alpha  = 60^\circ ,

M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 60^\circ } }}{{2\sin 30^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}}} = \sqrt 7 .

Если же \alpha  = 120^\circ , тогда

M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 120^\circ } }}{{2\sin 60^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 :\sqrt 3= 1.

Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике {A_1}AM по теореме Пифагора:

если \alpha  = 60^\circ ,

h = A{A_1} = \sqrt {MA_1^2 - A{M^2}}  = \sqrt {{{(\sqrt 7 )}^2} - {1^2}}  = \sqrt {6},

если \alpha  = 120^\circ ,

h = A{A_1} = \sqrt {MA_1^2 - A{M^2}}  = \sqrt {{1^2} - {1^2}}  = 0

(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай \alpha=120^\circ — посторонний).

Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника

S = \displaystyle\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \displaystyle\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 .

Окончательно, объем призмы:

V = Sh = \sqrt 3  \cdot \sqrt 6  = \sqrt{18}=3\sqrt{2}.

Приложения:
Ответ дал: siestarjoki
2

Правильная призма

- прямая - боковые грани перпендикулярны основанию

- в основании правильный многоугольник

Проекциями отрезков A1N и B1M являются медианы AN и BM основания ABC. Следовательно, так же как и медианы равностороннего ABC, отрезки A1N и B1M равны и точкой пересечения T делятся 2:1.

MN=AB/2=1 (средняя линия)

MT=NT, ∠MTN=60° => △MTN - равносторонний (р/б с углом 60°)

MT=MN=1; B1M=3MT=3

BM=AB sin60° =√3

BB1 =√(B1M^2-BM^2) =√(9-3) =√6

V =S(ABC)BB1 =4 √3/4 *√6 =3√2

Приложения:

siestarjoki: Угол MTN не может быть 120, т.к. тупой угол между медианами в правильном треугольнике 120 и тогда точка T лежит на основании.
Вас заинтересует