В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания равной 2 точки M и N являются серединами сторон AC и BC соответственно. Угол между прямыми A1N и B1M равен 60°. Определить объем призмы.
Ответы
Ответ:
Объем призмы равен
Объяснение:
(Рис. 1)
Тт.
и
лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию (
— средняя линия
поэтому
).
Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.
Далее возможны два варианта: либо
тогда
(см. рис. 2).
Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай
Продлим нижнее основание
за точку
на длину верхнего основания:
Тогда образовавшийся четырехугольник
— параллелограмм,
Значит
а
По теореме синусов
используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:
Треугольники и
подобны,
значит и
отсюда
По теореме косинусов для треугольника
откуда
Тогда если
Если же тогда
Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:
если
если
(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай — посторонний).
Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника
Окончательно, объем призмы:
![](https://st.uroker.com/files/342/3426ae6a8012d63a0f7c9cc8171b7ca7.png)
![](https://st.uroker.com/files/57b/57b65cdc246e34c949805f76b23c2fc8.png)
![](https://st.uroker.com/files/c81/c817e46cbc488a949d3b707a2d2f6a23.png)
Правильная призма
- прямая - боковые грани перпендикулярны основанию
- в основании правильный многоугольник
Проекциями отрезков A1N и B1M являются медианы AN и BM основания ABC. Следовательно, так же как и медианы равностороннего ABC, отрезки A1N и B1M равны и точкой пересечения T делятся 2:1.
MN=AB/2=1 (средняя линия)
MT=NT, ∠MTN=60° => △MTN - равносторонний (р/б с углом 60°)
MT=MN=1; B1M=3MT=3
BM=AB sin60° =√3
BB1 =√(B1M^2-BM^2) =√(9-3) =√6
V =S(ABC)BB1 =4 √3/4 *√6 =3√2
![](https://st.uroker.com/files/1e5/1e5c3be7ce797e5894f6c518e3cb47a8.png)