Question

Даю 26 балів за три приклади!
Допоможіть будь-ласка обчислити інтеграл (5, 8, 9):

Answer 1

Пошаговое объяснение:

посмотрите решения для №№5 и 8 (вложение).

Answer 2

Ответ:

5)  Заметим, что  $(x\cdot sinx)'=1\cdot sinx+x\cdot cosx=sinx+x\cdot cosx$  .

$\displaystyle \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{x\, cosx+sinx}{(x\, sinx)^2}\, dx=\Big[\ u=x\, sinx\ ,\ du=(x\, cosx+sinx)dx\ ,\\\\\\u(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}\ ,\ u(\frac{\pi }{4})=\frac{\pi}{4}\cdot sin\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\cdot }\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi \sqrt2}{8}\ \Big]=$

$\displaystyle =\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi \sqrt2}{8}}\, \frac{du}{u^2}\, dx=-\frac{1}{u}\ \Big|^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi \sqrt2}{8}}=-\frac{2}{\pi }+\frac{8}{\pi \sqrt2}=\frac{-2\sqrt2+8}{\pi \sqrt2}=\bf \frac{4\sqrt2-2}{\pi }=\frac{\sqrt2(4-\sqrt2)}{\pi }$

$\displaystyle 8)\ \ \int\limits^0_{-2} \frac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{(x+3)^2} } \, dx=\Big[\ NOK(2,3)=6\ \to \ t^6=x+3\ ,\\\\\\x=t^6-3\ ,\ t=\sqrt[6]{x+3}\ ,\ dx=6t^5\, dt\ ,\ t(0)=\sqrt[6]{3}\ ,\ t(-2)=1\ \Big]=$

$\displaystyle =\int\limits_1^{\sqrt[6]3}\ \frac{6\, t^5\, dt}{t^3+t^4}=\int\limits_1^{\sqrt[6]3}\ \frac{6\, t^5\, dt}{t^3\, (1+t)}=6\int\limits_1^{\sqrt[6]3}\ \frac{t^2\, dt}{1+t}=\int\limits_1^{\sqrt[6]3}\Big(t-1+\frac{1}{1+t}\Big)\, dt=\\\\\\=\Big(\frac{t^2}{2}-t+ln|1+t|\Big)\Big|_1^{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{2}-\sqrt[6]{3}+ln|\, 1+\sqrt[6]3\, |-\Big(\frac{1}{2}-1+ln2\Big)=\\\\\\\bf =\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2}+1-\sqrt[6]{3}+ln\, \frac{1+\sqrt[6]3}{2}$

9)  Универсальная тригонометрическая подстановка . Сначала найдём первообразную, а потом вычислим определённый интеграл .

$\displaystyle \int \frac{cosx\, dx}{(1+cosx)(1-sinx)}=\Big[\ t=tg\frac{x}{2}\ ,\ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\ ,\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\ ,\\\\\\dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\ \Big]=\int \frac{\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \dfrac{2\, dt}{1+t^2}}{\Big(1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)\Big(1-\dfrac{2t}{1+t^2}\Big)}=\\\\\\=\int \frac{2(1-t^2)\, dt}{(1+t^2+1-t^2)(1+t^2-2t)}=\int \frac{2\, (1-t)(1+t)}{2(1-t)^2}\, dt=\int \frac{1+t}{1-t}\, dt=$

$\displaystyle =\int \Big(-1+\frac{2}{1-t}\Big)\, dt=-t+2\, ln|\, 1-t\, |+C=-tg\frac{x}{2}+2ln|\, 1-tg\frac{x}{2}\, |+C\ ;$

$\displaystyle \int \limits _0^{2arctg\frac{1}{3}}\frac{cosx\, dx}{(1+cosx)(1-sinx)}=\Big(-tg\frac{x}{2}+2ln|\, 1-tg\frac{x}{2}\, |\Big)\, \Big|_0^{2\, arctg\frac{1}{3}}=\\\\\\=-tg(arctg\frac{1}{3})+2ln|\, 1-tg(arctg\frac{1}{3})\, |+0-2\, ln\, 1=\\\\\\=-\frac{1}{3}+2\, ln|\, 1-\frac{1}{3}\, |+0-2\cdot 0=-\frac{1}{3}+2\,ln\frac{2}{3}=\bf ln\frac{4}{9}-\frac{1}{3}$