Question

8cosZcos(60-z)cos(60+z)+1=0

Answer 1

Ответ:

$\pm\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2\pi n}{3},n\in\mathbb{Z}$

Объяснение:

Преобразуем произведение трёх косинусов, взятое с коэффициентом 4:

$4\cos{z}\cos{(60^\circ-z)}\cos{(60^\circ+z)}=\\=4\cos{z}\cdot(\cos{60^\circ}\cos{z}+\sin{60^\circ}\sin{z})(\cos{60^\circ}\cos{z}-\sin{60^\circ}\sin{z})=\\=4\cos{z}\left(\dfrac{1}{2}\cos{z}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{z}\right)\left(\dfrac{1}{2}\cos{z}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{z}\right)=\\=4\cos{z}\left(\dfrac{1}{4}\cos^2{z}-\dfrac{3}{4}\sin^2{z}\right)=4\cos{z}\left(\cos^2{z}-\dfrac{3}{4}\cos^2{z}-\dfrac{3}{4}\sin^2{z}\right)=\\=4\cos{z}\left(\cos^2{z}-\dfrac{3}{4}\right)=4\cos^3{z}-3\cos{z}=\cos{3z}$

Тогда исходное уравнение можно записать следующим образом:

$2\cos{3z}+1=0\\\cos{3z}=-\dfrac{1}{2}\\3z=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in\mathbb{Z}\\z=\pm\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2\pi n}{3},n\in\mathbb{Z}$