Question

Помогите пожалуйста, нужно решить интеграл:

Answer 1

Ответ:

$3\sqrt[3]{3}-6\sqrt[6]{3}+6\ln{(1+\sqrt[6]{3})}-6\ln{2}+3$

Пошаговое объяснение:

Пусть $t=\sqrt[6]{x+3}\Rightarrow x=t^6-3$. Тогда $\sqrt{x+3}=t^3,\sqrt[3]{(x+3)^2} =t^4,dx=6t^5dt$. Пересчитаем пределы интегрирования: $t_1=\sqrt[6]{-2+3}=1,t_2=\sqrt[6]{0+3}=\sqrt[6]{3}$. Получаем:

$\displaystyle\int\limits^0_{-2} {\dfrac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{(x+3)^2}}}=\int\limits^{\sqrt[6]{3}}_{1} {\dfrac{6t^5dt}{t^3+t^4}}=6\int\limits^{\sqrt[6]{3}}_{1} {\dfrac{t^2dt}{1+t}}=6\int\limits^{\sqrt[6]{3}}_{1} {\left(t-1+\dfrac{1}{1+t}\right)dt}=\\=6\cdot\left(\dfrac{t^2}{2}-t+\ln{(1+t)}\right)|\begin{array}{c}\sqrt[6]{3}\\1\end{array}=3\sqrt[3]{3}-6\sqrt[6]{3}+6\ln{(1+\sqrt[6]{3})}-3+6-\\-6\ln{2}=3\sqrt[3]{3}-6\sqrt[6]{3}+6\ln{(1+\sqrt[6]{3})}-6\ln{2}+3$

Answer 2

Ответ:

$3{(\sqrt[6]{3} - 1)^2} + \ln {\left( {\displaystyle\frac{{\sqrt[6]{3} + 1}}{2}} \right)^6}$

Пошаговое объяснение:

Пусть $\sqrt[6]{{x + 3}} = t,$ тогда

$x + 3 = {t^6},$

$\sqrt {x + 3} = {t^3},$

$\sqrt[3]{{{{(x + 3)}^2}}} = {t^4},$

$x = {t^6} - 3,$

$dx = ({t^6} - 3)'dt = 6{t^5}dt.$

Если $x = - 2,$ то $t = 1;$  если $x = 0,$ то $t = \sqrt[6]{3}.$

Значит

$\[I = \int\limits_{ - 2}^0 {\displaystyle\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt[3]{{{{(x + 3)}^2}}}}} = } \int\limits_1^{\sqrt[6]{3}} {\displaystyle\frac{{6{t^5}dt}}{{{t^3} + {t^4}}}} = 6\int\limits_1^{\sqrt[6]{3}} {\displaystyle\frac{{{t^5}dt}}{{{t^3}(1 + t)}}} = 6\int\limits_1^{\sqrt[6]{3}} {\displaystyle\frac{{{t^2}dt}}{{1 + t}}} .\]$

Выделим в выражении $\displaystyle\frac{{{t^2}}}{{t + 1}}$ целую часть, для чего отнимем и прибавим к числителю 1:

$\displaystyle\frac{{{t^2}}}{{t + 1}} = \displaystyle\frac{{{t^2} - 1 + 1}}{{t + 1}} = \displaystyle\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}} + \displaystyle\frac{1}{{t + 1}} = \displaystyle\frac{{(t - 1)(t + 1)}}{{t + 1}} + \displaystyle\frac{1}{{t + 1}} = t - 1 + \displaystyle\frac{1}{{t + 1}}.$

Тогда найдем полученный интеграл и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим его значение:

$\[I = 6\int\limits_1^{\sqrt[6]{3}} {\left( {t - 1 + \displaystyle\frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} = 6\left. {\left( {\displaystyle\frac{{{t^2}}}{2} - t + \ln (t + 1)} \right)} \right|_1^{\sqrt[6]{3}} =$

$=6\left( {\displaystyle\frac{{\sqrt[3]{3}}}{2} - \sqrt[6]{3} + \ln (\sqrt[6]{3} + 1) - \displaystyle\frac{1}{2} + 1 - \ln 2} \right) =$

$=3\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[6]{3} + 3 + 6\ln (\sqrt[6]{3} + 1) - 6\ln 2 = 3{(\sqrt[6]{3} - 1)^2} + \ln {\left( {\displaystyle\frac{{\sqrt[6]{3} + 1}}{2}} \right)^6}.$