AD - висота прямокутного трикутника АВС. Бісектриса кутів В і CAD перетинаються в точці К, а бісектриси кутів С і BAD - у точці М. Доведіть, що КМ║ВС.
тільки пж розгорнуто++ малюнок
Ответы
Я выложил чертеж, но не особо старался его отредактировать. Я надеюсь, вы разберетесь. Я постарался очень подробно все изложить.
1) ∠AMC - прямой (и аналогично, ∠AKB - прямой).
Доказать это можно разными способами, например, посчитать углы △AMC. ∠MAC + ∠MCA = ∠MAC + ∠MAB (так как треугольники ABC, ABD и BCD подобны, равны их соответственные углы, а значит, и их половинки) = 90°;
Можно сказать, что прямые CM и AM получаются из перпендикулярных прямых CA и AB поворотом на одинаковые углы.
2) Теперь можно построить две вспомогательные окружности на катетах AB и AC, как на диаметрах. Это означает, что берется середина катета (точка G для AB) и проводится окружность радиуса GA. По известному свойству вписанных углов на эту окружность попадут все точки, из которых отрезок AB виден под прямым углом. То есть точки K и D. Аналогично на окружность с центром в точке F - середине AC попадут точки M и D. Таким образом, AD - общая хорда построенных окружностей.
3) Так как BK - биссектриса вписанного угла DBA, равны дуги AK и KD а значит, равны и отрезки AK = KD. Аналогично AM = MD.
4) Четыре точки F, K, M, G - каждая равноудалена от концов отрезка AD (F и G - как центры окружностей). Следовательно все эти точки лежат на срединном перпендикуляре к AD.
5) Но FG - средняя линия, параллельная гипотенузе BC, чтд
