Question

Розвяжіть нерівність cos2x≤1/4



KeZ

Answer 1

Ответ:

$x \in \left[ {\frac{\pi }{3} + \pi n;\,\,\frac{{2\pi }}{3} + \pi n} \right],\,\,n \in {\rm{Z}}$

Пошаговое объяснение:

${\cos ^2}x \le \displaystyle\frac{1}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени

${\cos ^2}x = \displaystyle\frac{{\cos 2x + 1}}{2}.$

Тогда

$\displaystyle\frac{{\cos 2x + 1}}{2} \le \displaystyle\frac{1}{4};\\\\\cos 2x + 1 \le \displaystyle\frac{1}{2}\\\\\cos 2x \le - \displaystyle\frac{1}{2}.$

На единичной окружности отмечаем вертикальную линию $x = - \displaystyle\frac{1}{2},$ соответствующую решению уравнения $\cos \alpha = - \displaystyle\frac{1}{2}.$ По условию задачи решением неравенства будут все точки окружности, лежащие левее прямой (см. рис.).

$2x \in \left[ {\displaystyle\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\,\,\displaystyle\frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n} \right];$

$x \in \left[ {\displaystyle\frac{\pi }{3} + \pi n;\,\,\displaystyle\frac{{2\pi }}{3} + \pi n} \right],\,\,n \in {\rm{Z}}.$