Question

В пирамиде сумма количества всех диагоналей основания и количества граней равна 37. На сколько количество всех рёбер этой пирамиды больше количества всех её вершин ?​

Answer 1

Ответ:

Количество всех ребер пирамиды больше количества ее вершин на 8

Пошаговое объяснение:

Пусть в основании пирамиды $k$ вершин. Для любой выбранной вершины диагональ нельзя провести в саму себя и две смежные вершины, значит общее количество диагоналей основания равно

$\displaystyle\frac{{k(k - 3)}}{2}.$

Если в основании пирамиды $k$-угольник, у нее $k$ боковых граней + 1 грань основания, всего $k + 1$ грань.

По условию

$\displaystyle\frac{{k(k - 3)}}{2} + k + 1 = 37;\\\\{k^2} - 3k + 2k + 2 = 74;\\\\{k^2} - k - 72 = 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{k_1} + {k_2} = 1,\\{k_1}{k_2} = - 72;\end{array} \right.\\\\{k_1} = - 8;\,\,{k_2} = 9.$

Получаем, что задана 9-угольная пирамида.

Тогда количество всех ее ребер равно $2 \cdot 9 = 18,$ а вершин $9 + 1 = 10.$

Искомая величина равна $\[18 - 10 = 8.\]$