Question

Більша діагональ прямокутної трапеції є бісектрисою гострого кута.
Сума основ трапеції дорівнює 31 см, а сума бічних сторін - 25 см.
Знайдіть основи та висоту трапеції.​

Answer 1

Ответ:

Основания трапеции 13 см и 18 см, высота — 12 см.

Объяснение:

Так как основания трапеции — параллельные линии, а ее диагональ — секущая, то углы $ADB$ и $CBD$ равны как накрест лежащие. Таким образом в треугольнике $BCD$ $\angle DBC = \angle CDB$, то есть и $BC = CD$.

Пусть $BC = CD = x$. Тогда из условия $AB = 25 - x$, $AD = 31 - x$.

Опустим высоту $CH = AB$.

$AH = BC$, поэтому $HD = AD - AH = AD - BC = 31 - x - x = 31 - 2x$.

Из теоремы Пифагора для треугольника CHD

$C{H^2} + H{D^2} = C{D^2};\\\\{(25 - x)^2} + {(31 - 2x)^2} = {x^2};\\\\625 - 50x + {x^2} + 961 - 124x + 4{x^2} = {x^2};\\\\4{x^2} - 174x + 1586 = 0;\\\\2{x^2} - 87x + 793 = 0;\\\\D = {87^2} - 4 \cdot 2 \cdot 793 = 7569 - 6344 = 1225 = {35^2};\\\\x = \displaystyle\frac{{87 \pm 35}}{4};\\\\{x_1} = \displaystyle\frac{{61}}{2};\,\,{x_2} = 13.$

Первый корень не подходит по смыслу задачи ($31 - 2x > 0$).

Тогда

$BC = x = 13;\ AD = 31 - x = 31 - 13 = 18;\ h = AB = 25 - x = 12.$