Question

Площа рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює S. Висота
трапеції вдвічі менша від бічної сторони. Знайти радіус вписаного кола.​

Answer 1

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен $\frac{{\sqrt {2S} }}{4}$

Объяснение:

Проведем в трапеции высоты $BP$ и $CQ$ к нижнему основанию.

Пусть высота трапеции равна $h$, тогда боковая сторона трапеции по условию равна $2h$.

Условие того, что в четырехугольник можно вписать окружность, — равенство сумм противоположных его сторон.

Таким образом, сумма оснований равна сумме боковых сторон $4h$, а средняя линия

$c=\displaystyle\frac{4h}{2}=2h.$

Площадь трапеции

$S = ch = 2h \cdot h = 2{h^2};\\\\{h^2} = \displaystyle\frac{S}{2};\\\\h = \sqrt {\displaystyle\frac{S}{2}} = \displaystyle\frac{{\sqrt {2S} }}{2}.$

Так как высота трапеции — расстояние между основаниями — равна диаметру окружности, то радиус вписанной окружности

$r = \displaystyle\frac{h}{2} = \displaystyle\frac{{\sqrt {2S} }}{4}.$