Question

У гострий кут, що дорівнює 60градусів, вписано два кола, що зовні
дотикаються. Радіус меншого кола дорівнює r. Знайти радіус більшого
кола.

Answer 1

Ответ:

Радиус большей окружности равен $3r$

Объяснение:

Как центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис, так и центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Таким образом, $OB$ — биссектриса данного угла,

$\angle BOD = \displaystyle\frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Проведем из центров окружностей радиусы на сторону угла.

Тогда в прямоугольных треугольниках $ACO$ и $BDO$ есть острый угол величиной в $30^\circ$, а катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$  равен половине гипотенузы.

В треугольнике $ACO$ $OA = 2AC = 2r$.

Пусть радиус большей окружности равен $x$. Тогда

$OB = OA + AB = 2r + r + x;\\\\BD = x;\\\\2BD = OB\,\, \Rightarrow \,\,2x = 3r + x;\\\\x = 3r.$