Question

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 1/6 длины гипотенузы. Найдите углы треугольника

Answer 1

Ответ:

$\alpha\approx64{,}5^\circ,\ \beta\approx26{,}5^\circ,\ \gamma=90^\circ$

Объяснение:

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле $r = \displaystyle\frac{{a + b - c}}{2},$ где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Тогда по условию

$r = \displaystyle\frac{c}{6};\\\\\displaystyle\frac{{a + b - c}}{2} = \displaystyle\frac{c}{6};\\\\6(a + b - c) = 2c;\\\\a + b = \displaystyle\frac{4}{3}c.$

Так как треугольник прямоугольный, для него выполняется теорема Пифагора: ${a^2} + {b^2} = {c^2}.$

Получаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}a + b = \displaystyle\frac{4}{3}c,\\{a^2} + {b^2} = {c^2}.\end{array} \right.$

Во втором уравнении выделим полный квадрат:

${(a + b)^2} - 2ab = {c^2};\\\\{\left( {\displaystyle\frac{4}{3}c} \right)^2} - 2ab = {c^2};\\\\\displaystyle\frac{{16}}{9}{c^2} - 2ab = {c^2};\\\\2ab = \displaystyle\frac{7}{9}{c^2};\\\\ab = \displaystyle\frac{7}{{18}}{c^2}.$

Тогда система уравнений

$\left\{ \begin{array}{l}a + b = \displaystyle\frac{4}{3}c,\\ab = \displaystyle\frac{7}{{18}}{c^2}\end{array} \right.$

является теоремой Виета для квадратного уравнения, корнями которого являются числа a и b, т. е.

${t^2} - \left( {\displaystyle\frac{4}{3}c} \right)t + \displaystyle\frac{7}{{18}}{c^2} = 0.$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу корней (через дискриминант):

$D = {\left( {\displaystyle\frac{4}{3}c} \right)^2} - 4 \cdot \displaystyle\frac{7}{{18}}{c^2} = \displaystyle\frac{{16}}{9}{c^2} - \displaystyle\frac{{14}}{9}{c^2} = \displaystyle\frac{2}{9}{c^2} = {\left( {\displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{3}c} \right)^2};\\\\t = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{4}{3}c \pm \displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{3}c}}{2} = \displaystyle\frac{{(4 \pm \sqrt 2 )c}}{6}.$

Таким образом,

$a = \displaystyle\frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}c,$ $b = \displaystyle\frac{{4 - \sqrt 2 }}{6}c,$

либо наоборот.

Тангенс одного из острых углов такого треугольника равен

${\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}c:\displaystyle\frac{{4 - \sqrt 2 }}{6}c = \\=\displaystyle\frac{{4 + \sqrt 2 }}{{4 - \sqrt 2 }} = \displaystyle\frac{{{{(4 + \sqrt 2 )}^2}}}{{(4 - \sqrt 2 )(4 + \sqrt 2 )}} = \displaystyle\frac{{18 + 8\sqrt 2 }}{{14}} = \displaystyle\frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7},$

следовательно этот угол

$\alpha = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \displaystyle\frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}.$

С помощью таблиц или калькулятора можно установить, что $\alpha \approx 64{,}5^\circ$.

Следовательно, второй острый угол равен $\beta \approx 90^\circ - 64,5^\circ = 26{,}5^\circ$.