Question

геометрия , очень срочно, помогите, дам лучший ответ ​

Answer 1

Ответ:

$\arcsin \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}$

Объяснение:

Найдем координаты вектора $\overrightarrow {MK} .$

Если точки $A({x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2})$ — начало и конец вектора, то координаты $\[\overrightarrow {AB} ({x_2} - {x_1};\,\,{y_2} - {y_1};\,\,{z_2} - {z_1}).\]$

Поэтому

$\overrightarrow {MK} ( - 1 - 0;\,\, - 2 - ( - 1);\,\,1 - 6);\\\\\overrightarrow {MK} ( - 1;\,\, - 1;\,\, - 5).$

Найдем угол между вектором $\overrightarrow {MK}$  и вектором нормали, перпендикулярным плоскости $\alpha .$

По формуле скалярного произведения

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\cos (\widehat {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b });\\\\\cos (\widehat {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b }) = \displaystyle\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}.$

$\cos (\widehat {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {MK} }) = \displaystyle\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {MK} }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MK} } \right|}} = \displaystyle\frac{{ - 2 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5)}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {5^2}} }} =$

$=\displaystyle\frac{{2 - 1 - 5}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {27} }} = - \displaystyle\frac{4}{{9\sqrt 2 }} = - \displaystyle\frac{{4\sqrt 2 }}{{18}} = - \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}.$

Тогда

$\widehat {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {MK} } = \arccos \left( { - \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}} \right) = \pi - \arccos \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}.$

Вектор нормали перпендикулярен плоскости $\alpha ,$ т. е. угол между ними равен $\displaystyle\frac{\pi }{2}.$

Значит угол между плоскостью и прямой $MK$ равен

$\pi - \arccos \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9} - \displaystyle\frac{\pi }{2} = \displaystyle\frac{\pi }{2} - \arccos \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}.$

Так как

$\arcsin \alpha + \arccos \alpha = \displaystyle\frac{\pi }{2},$

то

$\displaystyle\frac{\pi }{2} - \arccos \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9} = \arcsin \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{9}.$