Question

Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на більшій
основі. Відрізки, на які ділить діагональ трапеції висоту, проведену з
вершини тупого кута, дорівнюють 21 см і 27 см, починаючи від більшої
основи. Знайдіть периметр трапеції.

Answer 1

Ответ:

Периметр трапеции равен $\frac{{168\sqrt {23} + 384\sqrt 7 }}{7}$

Объяснение:

По условию $BF = 27,\ FH = 21.$

Пусть большее основание трапеции равно $b$, а меньшее — $a$. Если провести вторую высоту трапеции $CE$, то $HE = BC = a$, $AH = ED = \displaystyle\frac{{b - a}}{2},$ $AE = HD = \displaystyle\frac{{a + b}}{2}.$

Треугольники $AHF$ и $AEC$ подобны, откуда

$\displaystyle\frac{{AH}}{{HF}} = \displaystyle\frac{{AE}}{{EC}};\\\\\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{b - a}}{2}}}{{21}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{a + b}}{2}}}{{21 + 27}};\\\\48(b - a) = 21(a + b);\\\\16(b - a) = 7(a + b);\\\\16b - 16a = 7a + 7b;\\\\9b = 23a;\\\\b = \displaystyle\frac{{23}}{9}a.$

Тогда

$AE = \displaystyle\frac{{a + b}}{2} = \displaystyle\frac{{a + \displaystyle\frac{{23}}{9}a}}{2} = \displaystyle\frac{{16}}{9}a;\\\\ED = \displaystyle\frac{{b - a}}{2} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{23}}{9}a - a}}{2} = \displaystyle\frac{7}{9}a.$

Треугольник $ACD$ — прямоугольный (описанная вокруг трапеции окружность описана и около этого треугольника, его угол $C$ опирается на диаметр окружности), поэтому $CE = \sqrt {AE \cdot ED} ,$ откуда

$48 = \sqrt {\displaystyle\frac{{16}}{9}a \cdot \displaystyle\frac{7}{9}a} = \displaystyle\frac{{4\sqrt 7 }}{9}a;\\\\ED = \displaystyle\frac{7}{9} \cdot \displaystyle\frac{{108}}{{\sqrt 7 }} = 12\sqrt 7 ;\\\\a = \displaystyle\frac{{48 \cdot 9}}{{4\sqrt 7 }} = \displaystyle\frac{{108}}{{\sqrt 7 }};\\\\b = \displaystyle\frac{{23}}{9} \cdot \displaystyle\frac{{108}}{{\sqrt 7 }} = \displaystyle\frac{{276}}{{\sqrt 7 }}.$

По теореме Пифагора из треугольника $CED$

$CD = AB = \sqrt {C{E^2} + E{D^2}} = \sqrt {{{48}^2} + {{(12\sqrt 7 )}^2}} =\\\\= \sqrt {2304 + 1008} = \sqrt {3312} = 12\sqrt {23} .$

Тогда периметр трапеции

$P = AB + BC + CD + AD = 12\sqrt {23} + \displaystyle\frac{{108}}{{\sqrt 7 }} + \displaystyle\frac{{276}}{{\sqrt 7 }} + 12\sqrt {23} =\\\\= 24\sqrt {23} + \displaystyle\frac{{384}}{{\sqrt 7 }} = 24\sqrt {23} + \displaystyle\frac{{384\sqrt 7 }}{7} = \displaystyle\frac{{168\sqrt {23} + 384\sqrt 7 }}{7}.$

Answer 2

1) перегляньте умову (ви вже знаєте , що у цьому збірнику купа описок)

2) подивіться, може ви самі невірно написали 21 і 27, а треба 27 і 21.

3) Яка відповідь до цієї задачі у збірнику.

Розв'язання по вашій умові і червоним стисло , якщо в умові все ж таки "27 і 21 починаючи від більшої основи".