Question

100 балов! срочно! решить неравенство
${3}^{x - 3} > {5}^{ {x}^{2} - 7x + 12 }$
​

Answer 1

Ответ:

$3^{x-3} > 5^{x^2-7x+12}\\\\\star \ \ x^2-7x+12=0\ \ \to \ \ \ x_1=3\ ,\ x_2=4\ \ (teorena\ Vieta)\ \ \to \\\\x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\ \ \star \\\\3^{x-3} > 5^{(x-3)(x-4)}\ \ \Big|:3^{x-3} > 0\\\\1 > \dfrac{5^{(x-4)(x-3)}}{3^{x-3}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Big(\dfrac{5^{x-4}}{3}\Big)^{x-3} < 1$    

Прологарифмируем неравенство по основанию  е .

$\displaystyle ln\Big(\frac{5^{x-4}}{3}\Big)^{x-3} < ln1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-3)\cdot ln\Big(\frac{5^{x-4}}{3}\Big) < 0\ \ ,\\\\(x-3)\cdot \Big(ln5^{x-4}-ln3\Big) < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-3)\cdot \Big((x-4)\cdot ln5-ln3\Big) < 0$  

Произведение < 0 , если один множитель положителен, а второй отрицателен .

$a)\ \left\{\begin{array}{l}x-3 < 0\\(x-4)\cdot ln5-ln3 > 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x < 3\\x-4 > \dfrac{ln3}{ln5}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x < 3\\x > 4+log_53\end{array}\right$  

Так как  $log_55=1\ ,\ log_51=0$  , то   $0 < log_53 < 1$   и   $4 < 4+log_53 < 5$  .  

Тогда   $3 < 4+log_53$  и система не будет иметь решений ,   $x\in \varnothing$  .

$b)\ \left\{\begin{array}{l}x-3 > 0\\(x-4)\cdot ln5-ln3 < 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x > 3\\x-4 < \dfrac{ln3}{ln5}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x > 3\\x < 4+log_53\end{array}\right\ \ \Rightarrow \\\\\\x\in (\ 3\ ;\, 4+log_53\ )$  

Ответ:   $\boldsymbol{x\in (\ 3\ ;\, 4+log_53\ )}\ .$  

  P.S. Можно было сразу  логарифмировать по основанию 5, тогда быстрее получили бы результат:  $(x-3)\cdot \Big((x-4)\cdot \underbrace{log_55}_{1}-log_53\Big) < 0$   .

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

******************************************************