Question

Укажите наименьшее целое a, при котором уравнение e^x=a*x^2 имеет три решения.

Answer 1

Ответ:

$a = 2$

Пошаговое объяснение:

Так как ${e^x} > 0$ и ${x^2} \ge 0$ при всех значениях $x$, то при $a \le 0$ уравнение решений не имеет.

При $a > 0$ уравнение всегда имеет одно отрицательное решение, так как при $x \in ( - \infty ;\,\,0]$ функция $f(x) = {e^x}$ возрастает от 0 до 1, а $g(x) = a{x^2}$ убывает от бесконечности до 0.

Исследуем количество решений при $x \in (0;\,\, + \infty )$. Перепишем уравнение в виде

$a = \displaystyle\frac{{{e^x}}}{{{x^2}}}$

и рассмотрим функцию

$h(x) = \displaystyle\frac{{{e^x}}}{{{x^2}}}.$

По правилу нахождения производной частного ее производная

$h'(x) = \displaystyle\frac{{({e^x})' \cdot {x^2} - ({x^2})' \cdot {e^x}}}{{{{({x^2})}^2}}} = \displaystyle\frac{{{x^2}{e^x} - 2x{e^x}}}{{{x^4}}} = \displaystyle\frac{{{e^x}(x - 2)}}{{{x^3}}}.$

Приравнивая производную нулю, находим, что $x = 2$ является критической точкой данной функции. Так как при $x < 2\ h(x) < 0,$  а при $x > 2\ h(x) > 0,$ то $x = 2$ является точкой минимума,

$h(2) = \displaystyle\frac{{{e^2}}}{4}.$

Таким образом при всех значениях $x > 0$

$\displaystyle\frac{{{e^x}}}{{{x^2}}} \ge \displaystyle\frac{{{e^2}}}{4}.$

Значит при

$a \in \left( {0;\,\,\displaystyle\frac{{{e^2}}}{4}} \right)$

положительных корней не будет, при

$a = \displaystyle\frac{{{e^2}}}{4}$

будет один положительный корень $x = 2$, при

$a > \displaystyle\frac{{{e^2}}}{4} \approx 1{,}8$

будет два положительных корня по разные стороны от $x = 2$.

Наименьшее целое такое значение — $a = 2$.