Три школьника — Петя, Вася и Толя — соревнуются в беге на дистанции
A
B
. Если Петя и Вася одновременно выбегут из пунктов
A
и
B
навстречу друг другу, а Толя выбежит с ними одновременно, то Петя и Вася встретятся в тот момент, когда Толя пробежит всю дистанцию. Если Петя и Толя побегут навстречу друг другу, а Вася выбежит с ними одновременно, то Петя и Толя встретятся в тот момент, когда Вася пробежит половину дистанции. Какую часть дистанции успеет пробежать Петя к моменту встречи Толи и Васи, если они побегут навстречу друг другу?
СРОЧНО 10 БАЛЛОВ
Ответы
Відповідь:
Когда бегущие навстречу друг другу Толя и Вася встретятся, Петя пробежит 1/5 часть дистанции.
Покрокове пояснення:
Примем следующие обозначения:
L - расстояние между пунктами A и B;
X - скорость Пети;
Y - скорость Васи;
Z - скорость Толи.
1 / D - часть дистанции, которую успеет пробежать Петя к моменту встречи Толи и Васи.
1) Петя и Вася, бегущие навстречу друг другу встретятся в тот момент, когда Толя пробежит всю дистанцию.
Время, за которое Петя и Вася пробегут расстояние между пунктами A и B равно:
L / ( X + Y )
оно равно времени, за которое это же расстояние пробежит Толя:
L / Z
Получаем уравнение:
L / ( X + Y ) = L / Z
Перенесем ( X + Y ) вправо, а Z влево:
L × Z = L × ( X + Y )
Разделим уравнение на L:
X + Y = Z ( 1 )
2) Петя и Толя, бегущие навстречу друг другу встретятся в тот момент, когда Вася пробежит половину дистанции.
Время, за которое Петя и Толя пробегут расстояние между пунктами A и B равно:
L / ( X + Z )
оно равно времени, за которое половину этого расстояния пробежит Вася:
L / ( 2 × Y )
Получаем уравнение:
L / ( X + Z ) = L / ( 2 × Y )
Перенесем ( X + Z ) вправо, а ( 2 × Y ) влево:
L × ( 2 × Y ) = L × ( X + Z )
Разделим уравнение на L:
X + Z = 2Y ( 2 )
3) Какую часть дистанции пробежит Петя, когда бегущие навстречу друг другу Толя и Вася встретятся?
Время, за которое Толя и Вася пробегут расстояние между пунктами A и B равно:
L / ( Y + Z )
оно равно времени, за которое 1/D часть этого расстояния пробежит Петя:
L / ( D × X )
Получаем уравнение:
L / ( Y + Z ) = L / ( D × X )
Перенесем ( Y + Z ) вправо, а ( D × X ) влево:
L × ( D × X ) = L × ( Y + Z )
Разделим уравнение на L:
Y + Z = D×X ( 3 )
Получаем систему уравнений:
X + Y = Z ( 1 )
X + Z = 2Y ( 2 )
Y + Z = D×X ( 3 )
Сложим уравнения ( 1 ) и ( 2 ):
X + Y + X + Z - Z - 2Y = 0
2X - Y = 0
Y = 2X ( 4 )
Вычтем из уравнения ( 1 ) уравнение ( 2 ):
X + Y - X - Z - Z + 2Y = 0
3Y - 2Z = 0 ( 5 )
Подставим в уравнение ( 5 ) уравнение ( 4 ):
6X - 2Z = 0
Z = 3X ( 6 )
Подставим в уравнение ( 3 ) уравнения ( 4 ) и ( 6 ):
2X + 3X = D×X
5X = D×X
D = 5
Ответ:
Когда бегущие навстречу друг другу Толя и Вася встретятся, Петя пробежит 1/5 часть дистанции.
Проверка:
Примем скорость Пети за единицу.
X = 1 - скорость Пети
Подставим X = 1 в уравнения ( 4 ) и ( 6 ):
Y = 2 - скорость Васи
Z = 3 - скорость Толи
Подставим X = 1; Y = 2; Z = 3 и D = 5 в уравнения ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ):
1) X + Y = Z
1 + 2 = 3
3 = 3
2) X + Z = 2Y
1 + 3 = 2 × 2
4 = 4
3) Y + Z = D×X
2 + 3 = 5 × 1
5 = 5
Все правильно.