Question

помогите срочно


В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и CC1. Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках X и Y. Касательные к ω, проведённые в точках X и Y, пересекаются в точке Z. Выберите все гарантированно верные утверждения.



1 - Прямые A1C1 и AC антипараллельны относительно угла ABC


2 - Прямые XZ и BC1 антипараллельны относительно угла BXY


3 - Прямые XZ и BY антипараллельны относительно угла BXY


4 - Точка B является серединой дуги XY


5 - Касательная в точке B к ω параллельна A1C1


6 - Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X вписаны


7 - Прямые AB и XZ перпендикулярны


8 - Прямые BZ и XY перпендикулярны

Answer 1

Ответ:

1 3 4 5 8

Объяснение:

Два примера антипараллельности:

- Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему

=> Противоположные стороны вписанного четырехугольника антипараллельны относительно двух других сторон.

- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой

=> Касательная к описанной окружности треугольника антипараллельна противолежащей стороне относительно двух других сторон.

Всегда верно:

1) Отрезок AC виден из точек A1 и C1 под прямым углом => AC1A1C - вписанный => A1C1 и AC антипараллельны относительно ABC.

3) w - описанная окружность BXY, XZ - касательная к w => XZ антипараллельна BY относительно BXY.

5) Касательная к w в точке B и прямая A1C1 антипараллельны AC относительно ABC, следовательно параллельны между собой.

4) Радиус в точку касания B перпендикулярен касательной, следовательно также перпендикулярен A1C1 т.е. XY.

Перпендикуляр из центра к хорде делит ее и дугу пополам.

8) Отрезки касательных из одной точки равны. Точка Z равноудалена от концов отрезка XY, следовательно лежит на его серединном перпендикуляре, т.е. на прямой OB.

В некоторых случаях:

2) Если XZ и BC1 антипараллельны относительно BXY, то BC1||BY, т.е. они совпадают. Это прямоугольный треугольник.

6) Отрезки касательных из одной точки образуют равные углы с прямой через эту точку и центр окружности. Если ZBC1Y и ZBA1X вписаны, то ∠BC1A1=∠XZB=∠YZB=∠BA1C1. Это равнобедренный треугольник.

7) Не понял, в чем особенность этого положения. Но легко представить контрпример, когда угол ABX=90.