помогите срочно
В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и CC1. Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках X и Y. Касательные к ω, проведённые в точках X и Y, пересекаются в точке Z. Выберите все гарантированно верные утверждения.
1 - Прямые A1C1 и AC антипараллельны относительно угла ABC
2 - Прямые XZ и BC1 антипараллельны относительно угла BXY
3 - Прямые XZ и BY антипараллельны относительно угла BXY
4 - Точка B является серединой дуги XY
5 - Касательная в точке B к ω параллельна A1C1
6 - Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X вписаны
7 - Прямые AB и XZ перпендикулярны
8 - Прямые BZ и XY перпендикулярны
Ответы
Ответ:
1 3 4 5 8
Объяснение:
Два примера антипараллельности:
- Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему
=> Противоположные стороны вписанного четырехугольника антипараллельны относительно двух других сторон.
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой
=> Касательная к описанной окружности треугольника антипараллельна противолежащей стороне относительно двух других сторон.
Всегда верно:
1) Отрезок AC виден из точек A1 и C1 под прямым углом => AC1A1C - вписанный => A1C1 и AC антипараллельны относительно ABC.
3) w - описанная окружность BXY, XZ - касательная к w => XZ антипараллельна BY относительно BXY.
5) Касательная к w в точке B и прямая A1C1 антипараллельны AC относительно ABC, следовательно параллельны между собой.
4) Радиус в точку касания B перпендикулярен касательной, следовательно также перпендикулярен A1C1 т.е. XY.
Перпендикуляр из центра к хорде делит ее и дугу пополам.
8) Отрезки касательных из одной точки равны. Точка Z равноудалена от концов отрезка XY, следовательно лежит на его серединном перпендикуляре, т.е. на прямой OB.
В некоторых случаях:
2) Если XZ и BC1 антипараллельны относительно BXY, то BC1||BY, т.е. они совпадают. Это прямоугольный треугольник.
6) Отрезки касательных из одной точки образуют равные углы с прямой через эту точку и центр окружности. Если ZBC1Y и ZBA1X вписаны, то ∠BC1A1=∠XZB=∠YZB=∠BA1C1. Это равнобедренный треугольник.
7) Не понял, в чем особенность этого положения. Но легко представить контрпример, когда угол ABX=90.
![](https://st.uroker.com/files/2a4/2a43fd48372b3ccaf5fe701b65232fdd.png)