Question

Підлогу шириною 3 м потрібно замостити дошками шириною 11 см та 13 см, щоб між ними не було
інтервалів. Скільки дошок обох розмірів знадобиться?

Answer 1

Ответ:

19 шт. по 11 см + 7 шт. по 13 см либо 6 шт. по 11 см + 18 шт. по 13 см

Пошаговое объяснение:

Так как 3 м = 300 см, надо решить уравнение в целых числах

$11x + 13y = 300;\\\\11x = 300 - 13y;\\\\x = \displaystyle\frac{{300 - 13y}}{{11}};\\\\x = \displaystyle\frac{{297 + 3 - 11y - 2y}}{{11}} = 27 - y + \displaystyle\frac{{3 - 2y}}{{11}},$

откуда

$3 - 2y = 11a,$

$2y = 3 - 11a;\\\\y = \displaystyle\frac{{3 - 11a}}{2} = \displaystyle\frac{{2 - 10a + 1 - a}}{2} = 1 - 5a + \displaystyle\frac{{1 - a}}{2},$

откуда

$1 - a = 2b,\\\\a = 1 - 2b,\\\\y = \displaystyle\frac{{3 - 11a}}{2} = \displaystyle\frac{{3 - 11 + 22b}}{2} = 11b - 4,\\\\x = \displaystyle\frac{{300 - 13y}}{{11}} = \displaystyle\frac{{300 - 143b + 52}}{{11}} = 32 - 13b.$

Значит пары $(32 - 13b;\,\,11b - 4)$ дают решения такого уравнения при любом целом $b$.

Количество дощечек — натуральное число, значит

$32 - 13b \ge 0;\\\\b \le \displaystyle\frac{{32}}{{13}} = 2\displaystyle\frac{6}{{13}}$

и

$11b - 4 \ge 0;\\\\11b \ge 4;\\\\b \ge \displaystyle\frac{4}{{11}}.$

Тогда $b = 1$ или $b = 2$.

Значит можно уложить 19 дощечек по 11 см и 7 дощечек по 13 см либо 6 дощечек по 11 см и 18 дощечек по 13 см.

Answer 2

Вітаю.

Відповідь:

19 по 11 см, 7 по 13 см

або

6 по 11 см, 18 по 13 см.