Найти сумму всех целых а из промежутка [2;15], при которых следующая функция определена на всей числовой оси:
f(x)= lg((2x-x²) log_(4)a +3(x²+1+log_(0,25)a)-2x)

Приложения:

Ответы

Ответ дал: DNHelper

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Функция определена, если выполняется ОДЗ логарифма, то есть следующее неравенство:

$(2x-x^2)\log_4{a}+3(x^2+1-\log_4{a})-2x > 0$

Сгруппируем слагаемые в левой части по степеням икса:

$(3-\log_4{a})x^2+(2\log_4{a}-2)x+3-3\log_4{a} > 0$

Старший коэффициент может принимать как положительные, так и отрицательные значения (а также 0). Если он отрицателен, то это парабола ветвями вниз, она всегда принимает положительные значения только на ограниченном промежутке (то есть решением неравенства не может быть вся числовая ось). Тогда рассмотрим остальные значения старшего коэффициента.

1. $3-\log_4{a}=0\Leftrightarrow a=4^3=64$ . Это значение параметра нам рассматривать не требуется по условию задачи.

2. $3-\log_4{a} > 0\Leftrightarrow 0 < a < 64$ . В данном случае это парабола ветвями вверх. Чтобы неравенство выполнялось для всех x, необходимо, чтобы парабола целиком лежала выше оси Ox, то есть соответствующее уравнение не имело бы корней, то есть его дискриминант был отрицательным:

$\displaystyle D=(2\log_4{a}-2)^2-4(3-\log_4{a})(3-3\log_4{a}) < 0\\4(\log_4{a}-1)^2+4\cdot3(3-\log_4{a})(\log_4{a}-1) < 0\\(\log_4{a}-1)(\log_4{a}-1+3(3-\log_4{a})) < 0\\(\log_4{a}-1)(8-2\log_4{a}) < 0\\(\log_4{a}-1)(\log_4{a}-4) > 0\\\left [ {{\log_4{a} < 1} \atop {\log_4{a} > 4}} \right. \left [ {{a < 4} \atop {a > 256}} \right.$