Question

Вычислите значение выражения (x+1)(x²+1)(x⁴+1)-⅕x⁸ ,если x=6 (сделать удобным способом без калькулятора!!!!!!)

Answer 1

Ответ:

$-0{,}2$

Объяснение:

Домножим и поделим все выражение на $x - 1 \ne 0:$

$\displaystyle\frac{{(x - 1)(x + 1)({x^2} + 1)({x^4} + 1) - \displaystyle\frac{1}{5}{x^8}(x - 1)}}{{x - 1}}.$

Тогда произведение скобок в числителе можно последовательно свернуть с помощью формулы разности квадратов:

${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b).$

$(x - 1)(x + 1)({x^2} + 1)({x^4} + 10 = ({x^2} - 1)({x^2} + 1)({x^4} + 1) = ({x^4} - 1)({x^4} + 1) = {x^8} - 1.$

Поэтому исходное выражение равно

$\displaystyle\frac{{{x^8} - 1 - \displaystyle\frac{1}{5}{x^9} + \displaystyle\frac{1}{5}{x^8}}}{{x - 1}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{6}{5}{x^8} - \displaystyle\frac{1}{5}{x^9} - 1}}{{x - 1}}.$

При $x = 6$ это выражение равно

$\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{6}{5} \cdot {6^8} - \displaystyle\frac{1}{5} \cdot {6^9} - 1}}{{6 - 1}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{{6^9}}}{5} - \displaystyle\frac{{{6^9}}}{5} - 1}}{5} = - \displaystyle\frac{1}{5}=-0{,}2.$