Question

7. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС, дорівнює 5 см. Вписане в трикутник ABC коло радіуса 2 см дотикається до гіпотенузи AB в точці M i AM:MB=2:3. Знайдіть катети трикутника ABC.​

Answer 1

Ответ:

6 см и 8 см

Объяснение:

Так как в прямоугольном треугольнике

$R = 5 = \displaystyle\frac{c}{2},$

то гипотенуза $c = 10$.

Точка $M$ делит гипотенузу в отношении $2:3$, т. е. на 5 частей, значит $AM = 4$, $MB = 6$.

Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то $AN = AM = 4$, $BK = BM = 6$.

Если опустить из центра вписанной окружности радиусы $ON$ и $OK$, то четырехугольник $CNOK$ — квадрат, $CN = CK = r = 2$.

Поэтому $AC = AN + CN = 4 + 2 = 6$, $BC = BK + CK = 6 + 2 = 8$.