Question

сума кубів нескінченної геометричної прогресії відноситься до суми квадратів її членів як 12:13. Знайти третій член прогресії, якщо сума перших двох рівна 1,(3)​

Answer 1

Ответ:

$b_3=\frac{2}{9}$

Объяснение:

Пусть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(\left| q \right| < 1)$

$b,\,\,bq,\,\,b{q^2},\,\, \ldots .$

Если рассмотреть прогрессию, где каждый член — куб соответствующего члена исходной прогрессии, получим

${b^3},\,\,{b^3}{q^3},\,\,{b^3}{q^6},\,\, \ldots$ —

прогрессию  с первым членом ${b^3}$ и знаменателем ${q^3}$.

Аналогично, прогрессия, в которой каждый член — квадрат соответствующего члена исходной прогрессии, — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом ${b^2}$ и знаменателем ${q^2}$.

Так как формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид

$S = \displaystyle\frac{{{b_1}}}{{1 - q}},$

то сумма прогрессии кубов равна

${S_3} = \displaystyle\frac{{{b^3}}}{{1 - {q^3}}},$

а сумма прогрессии квадратов

${S_2} = \displaystyle\frac{{{b^2}}}{{1 - {q^2}}}.$

По условию их отношение

$\displaystyle\frac{{{S_3}}}{{{S_2}}} = \displaystyle\frac{{12}}{{13}};\\\\\displaystyle\frac{{{b^3}}}{{1 - {q^3}}}:\displaystyle\frac{{{b^2}}}{{1 - {q^2}}} = \displaystyle\frac{{12}}{{13}};\\\\\displaystyle\frac{{{b^3}}}{{(1 - q)(1 + q + {q^2})}} \cdot \displaystyle\frac{{(1 - q)(1 + q)}}{{{b^2}}} = \displaystyle\frac{{12}}{{13}};\\\\\displaystyle\frac{{b + bq}}{{1 + q + {q^2}}} = \displaystyle\frac{{12}}{{13}}.$

Вторым условием является

$b + bq = \displaystyle\frac{4}{3}.$

Подставляя это значение, получим

$\displaystyle\frac{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}{{1 + q + {q^2}}} = \displaystyle\frac{{12}}{{13}};\\\\1 + q + {q^2} = \displaystyle\frac{{13}}{9};\\\\{q^2} + q - \displaystyle\frac{4}{9} = 0;$

$D = {1^2} + 4 \cdot \displaystyle\frac{4}{9} = \displaystyle\frac{{25}}{9} = {\left( {\displaystyle\frac{5}{3}} \right)^2};\\\\q = \displaystyle\frac{{ - 1 \pm \displaystyle\frac{5}{3}}}{2};\\\\{q_1} = - \displaystyle\frac{4}{3},\,\,{q_2} = - \displaystyle\frac{1}{3}.$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, $\left| q \right| < 1,$ то первый корень посторонний.

Из равенства

$b + bq = \displaystyle\frac{4}{3}$

найдем $b$:

$b(1 + q) = \displaystyle\frac{4}{3};\\\\b = \displaystyle\frac{4}{{3(1 + q)}} = \displaystyle\frac{4}{{3\left( {1 - \displaystyle\frac{1}{3}} \right)}} = \displaystyle\frac{4}{2} = 2.$

Тогда третий член исходной последовательности равен

${b_3} = b{q^2} = 2 \cdot {\left( { - \displaystyle\frac{1}{3}} \right)^2} = \displaystyle\frac{2}{9}.$