Предмет: Геометрия
Автор: kolooleksandr2009
Вопрос задан 3 года назад

Сформулювати і довести наслідки з теореми про

вписаний кут.
даю 20 балов

cos20093: Доказательство теоремы о вписанном угле очень простое. Для начала пусть одна из хорд, опирающихся на данную дугу, - диаметр. В середине диаметра - центр окружности, его надо соединить с другим концом дуги. Легко видеть, что образовался равнобедренный треугольник, у которого внешний угол - центральный угол дуги, а один из двух равных углов при основании (второй хорде) - вписанный угол.

cos20093: То есть для случая, если одна хорда - диаметр, все легко доказывается. Ну, а если обе хорды - не диаметр, то можно провести из их общей вершины диаметр, и представить угол как сумму (или разность) двух углов с диаметром (и дугу также).

cos20093: Теперь понятно, почему на диаметр опирается обязательно прямой угол. в этом случае дуга 180°, значит вписанный угол 90°. Поэтому (учите слова!) если на неком отрезке построить окружность, как на диаметре, то точки этой окружности будут геометрическим местом точек (то есть множеством с каким-то геометрическим свойством) вершин прямоугольных треугольников с гипотенузой - этим отрезком.

cos20093: Ясно и - как доказать теорему синусов. Скажем, пусть сторона треугольника a, угол напротив α. Тогда из одного конца "a" надо провести диаметр описанной окружности, и его второй конец соединить с другим концом "a". Получился ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник, у которого угол напротив катета "a" равен тому же самому α. Откуда по определению синуса a = 2Rsin(α). Ясно, что то же самое можно проделать с двумя другими сторонам.

cos20093: Трактат закончен. :)

kolooleksandr2009: спасибо

cos20093: Да, лично от себя бы я еще добавил одно следствие - это признак вписанного четырехугольника. Он следует непосредственно из теоремы о вписанном угле. В вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов всегда 180° (ну, просто потому, что это сумма двух вписанных углов, опирающихся на дуги, дающие в сумме 360°, то есть полную окружность).

cos20093: Как и в случае с геометрическим местом точек, из которых отрезок "виден" под одинаковым углом (напомню, они все лежат на окружности, хордой которой является этот отрезок), для выпуклого 4-угольника работает и обратное утверждение - если сумма 2 противоположных углов 180°, то он обязательно вписанный. То есть вокруг него можно описать окружность. Или - если провести окружность через любые 3 вершины, 4-ая тоже на неё попадет.

cos20093: Кстати, попробуйте доказать обратное утверждение (ну, то есть в случае отрезка - что все такие точки лежат на окружности, а других нет, в случае 4угольника - как следствие предыдущего), это очень хорошее упражнение. Доказывается от противного.

cos20093: Как сказано в одной хорошей книге, "за сим" удаляюсь :)