Question

Найдите вторую производную функции f(x)= 0.2 sin^2(5x) и вычислите ее значение в точке x=π/20

Answer 1

Ответ:   $\boldsymbol{f''\Big(\dfrac{\pi}{20}\Big)=0}$  .

 $f(x)=0,2\, sin^2(5x)\ \ ,\ \ \ x_0=\dfrac{\pi}{20}$  

Производная степенной функции  $\bf (u^{n})'=n\cdot u^{n-1}\cdot u'$  .

$f'(x)=0,2\cdot 2sin(5x)\cdot (sin(5x))'=0,2\cdot \underbrace{2sin(5x)\cdot cos(5x)}_{sin(10x)}\cdot 5=sin(10x)$  

Вторая производная:  $\bf f''(x)=(f'(x))'$  .

$f''(x)=cos(10x)\cdot (10x)'=10\cdot cos(10x)\\\\\\f''\Big(\dfrac{\pi}{20}\Big)=10\cdot cos\dfrac{\pi}{2}=\bf 0$  

Answer 2

Ответ:

Вторая производная равна: f''(x) = 10 cos (10x)

f''(π/20) = 0

Пошаговое объяснение:

Найдите вторую производную функции f(x)= 0,2 sin²(5x) и вычислите ее значение в точке x=π/20.

$\displaystyle\bf f(x)=0,2\;sin^2(5x)$

Найдем производную:

Здесь производная сложной функции.

$\boxed {\displaystyle\bf (u^n)'=nu^{n-1}\cdot{u'}}$

$\displaystyle\bf f'(x)=0,2\cdot2\;sin(5x)\cdot({sin(5x))'}=$

$\boxed {\displaystyle\bf (sin\;u)'=cos\;u\cdot{u'}}$

$\displaystyle\bf =0,2\cdot2\;{sin(5x)\cdot{cos(5x)}\cdot(5x)'}=$

$\boxed {\displaystyle\bf (Cx)'=C}$

$\displaystyle\bf =0,2\cdot2\;{sin(5x)\cdot{cos(5x)}\cdot5=2\;sin(5x)\cdot{cos(5x)} = sin(10x)$

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle\bf f''(x)=(sin(10x))'=cos(10x)\cdot(10x)' = 10\;cos(10x)$

А теперь найдем f''(π/20):

$\displaystyle\bf f''\left(\frac{\pi }{20}\right )=10\;cos \left(10\cdot\frac{\pi }{20}\right) =10\;cos \left(\frac{\pi }{2}\right) =0$