Question

треугольник периметр которого равен 30 см делится бесиктрисой на 2 треугольника периметры коорых равны 16 см и 24 см. найдите бесиктрису

Answer 1

Пусть периметр треугольника АВС равен 30 см. Это означает, что:

$P_{\mathrm{ABC}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=30$

Пусть в этом треугольнике проведена биссектриса АК. При этом, периметры образовавшихся треугольников АВК и АСК соответственно равны 16 см и 24 см:

$P_{\mathrm{ABK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BK}+\mathrm{AK}=16$

$P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AC}+\mathrm{CK}+\mathrm{AK}=24$

Сложим два полученных равенства:

$P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BK}+\mathrm{AK}+\mathrm{AC}+\mathrm{CK}+\mathrm{AK}$

$P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+(\mathrm{BK}+\mathrm{CK})+\mathrm{AC}+2\mathrm{AK}$

Заметим, что отрезки ВК и СК в сумме дают отрезок ВС. Тогда:

$P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}+2\mathrm{AK}$

Также заметим, что в правой части записано соотношение для периметра исходного треугольника:

$P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=P_{\mathrm{ABC}}+2\mathrm{AK}$

Выражаем биссектрису:

$2\mathrm{AK}=P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}-P_{\mathrm{ABC}}$

$\mathrm{AK}=\dfrac{1}{2}( P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}-P_{\mathrm{ABC}})$

Получим:

$\mathrm{AK}=\dfrac{1}{2}\cdot( 16+24-30)=\dfrac{1}{2}\cdot10=5$

Значит, длина биссектрисы равна 5 см.

Ответ: 5 см