Question

Пожалуйста, помогите решить два уравнения!
Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

1) Ответ: 2.

2) Ответ: 8.

Пошаговое объяснение:

Решить уравнения:

1)   $\displaystyle\bf \sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$

2)   $\displaystyle\bf \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$

1) $\displaystyle\bf \sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$

• Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ: 2х + 5 ≥ 0   ⇒   x ≥ -5/2

         3x - 5 ≥ 0   ⇒   x ≥ 5/3

x ∈ [5/3; +∞)

Уединим корень, для этого перенесем один корень в правую часть. Затем возведем в квадрат обе части уравнения:

$\displaystyle\bf \sqrt{2x+5}=2+\sqrt{3x-5} \\\\2x+5=4+4\sqrt{3x-5}+3x-5\\ \\6-x=4\sqrt{3x-5}$

Еще раз возведем в квадрат:

$\displaystyle\bf 36-12x+x^2=16(3x-5)\\\\36-12x+x^2-48x+80=0\\\\x^2-60x+116=0\\\\D=3600-464=3136;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=56\\ \\x_1=\frac{60+56}{2}=58;\;\;\;\;\;x_2=\frac{60-56}{2}=2$

Проверим:

58:

$\displaystyle\bf \sqrt{116+5}-\sqrt{174-5}=2\\\\11-13\neq 2$

58 - посторонний корень.

2:

$\displaystyle\bf \sqrt{4+5}-\sqrt{6-5}=2\\\\3-1=2$

Верно.

Ответ: 2.

2)   $\displaystyle\bf \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$

ОДЗ: 3х + 1 ≥ 0   ⇒   х ≥ -1/3

         х + 1 ≥ 0   ⇒   х ≥ -1

х ∈ [-1/3; +∞)

Далее решаем аналогично первому.

$\displaystyle\bf \sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x+1}\\ \\ 3x+1=4+4\sqrt{x+1}+x+1\\ \\2x-4=4\sqrt{x+1}$

Еще раз возведем в квадрат:

$\displaystyle\bf 4x^2-16x+16=16(x+1)\\\\4x^2-16x+16-16x-16=0\\\\4x^2-32x=0\\\\4x(x-8)=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=8$

Проверим:

0:

$\displaystyle\bf \sqrt{0+1}-\sqrt{0+1}=2\\\\1 -1\neq 2$

0 - посторонний корень.

8:

$\displaystyle\bf \sqrt{24+1}-\sqrt{8+1}=2\\\\5-3=2$

Верно.

Ответ:  8.