Question

Площадь прямоугольника ABCD равна Х см2. Стороны AB и CD прямоугольника увеличили в 1.5 раза, а также увеличили стороны BC и AD на 4 см. До изменений диагональ прямоугольника была равна 10 см, а после изменений сторон диагональ прямоугольника стала равна 15 см. Чему может быть равен Х?​

Answer 1

Ответ:  X = 48 см²

Пошаговое объяснение:

Пусть

AB = CD = a

AD =  BC = b

Требуется найти площадь :

X = S = AB·BC = a·b

До изменения :

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(0,0)\thicklines\multiput(0,0)(5,0){2}{\line(0,1){3}}\multiput(0,0)(0,3){2}{\line(1,0){5}}\put(0.03,0.02) {\framebox(0.25,0.25)}\put(0.03,2.75){\framebox(0.25,0.25)}\put(4.74,2.75){\framebox(0.25,0.25)}\put(4.74,0.02){\framebox(0.25,0.25)}\multiput(2.1,-0.7)(0,4.2){2}{\sf\large b cm}\multiput(-1.4,1.4)(6.8,0){2}{\sf\large a cm}\put(-0.5,-0.4){\bf A}\put(-0.5,3.2){\bf B}\put(5.3,-0.4){\bf D}\put(5.3,3.2){\bf C}\end{picture}$

По условию диагональ  ВD = 10

По  теореме Пифагора

$\sf BD^2 =\boxed{ \sf a^2 + b^2 = 100}$

После изменения :

Стороны AB и CD  увеличили в 1.5 раза, а также увеличили стороны BC и AD на 4 см

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(0,0)\thicklines\multiput(0,0)(5,0){2}{\line(0,1){3}}\multiput(0,0)(0,3){2}{\line(1,0){5}}\put(0.03,0.02) {\framebox(0.25,0.25)}\put(0.03,2.75){\framebox(0.25,0.25)}\put(4.74,2.75){\framebox(0.25,0.25)}\put(4.74,0.02){\framebox(0.25,0.25)}\multiput(2.1,-0.7)(0,4.2){2}{\sf\large b+4 cm}\multiput(-1.4,1.4)(6.8,0){2}{\sf\large 1,5a cm}\put(-0.5,-0.4){\bf A}\put(-0.5,3.2){\bf B}\put(5.3,-0.4){\bf D}\put(5.3,3.2){\bf C}\end{picture}$

Теперь диагональ  BD = 15 см

Снова применяем теорему Пифагора

$\sf BD^2 = (1,5a)^2 + (b+4)^2 = 15^2 \\\\ 2,25 a^2 + b^2 + 8 b + 16 = 225 \\\\ \boxed{\sf 2,25 a^2 + b^2 + 8 b = 209}$

Составляем систему :

$\ominus \left \{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 = 100 ~ |\cdot2,25 \\\\ 2,25 a^2 + b^ 2 + 8 b = 209 \end{array} \Leftrightarrow \ominus \left \{ \begin{array}{l} 2,25a^2 + 2,25b^2 = 225 \\\\ 2,25 a^2 + b^ 2 + 8 b = 209 \end{array} \Leftrightarrow$

$2,25a^2 - 2,25a^2 + 2,25b^2 - b^2 - 8b = 225 - 209 \\\\ 1,25b^2 - 8b = 16 \\\\1,25b^2 -8b - 16 =0 ~ \big | \cdot 4 \\\\ D =8^2 + 4 \cdot 1,25 \cdot 16 = 64 + 80 = 144 =12^ 2 \\\\ b_1 =\cfrac{8 + 12}{2,5} = 8 ~ \checkmark \\\\ b_2 = \cfrac{8 - 12}{2,5} < 0 ~ \varnothing$

Берем корень  b = 8  , т.к длины сторон не могут принимать отрицательные значения

Находим  a

$a^2 + b^ 2= 100 \\\\ a^2 + 8^2 = 100 \\\\ a = 6$

Тогда площадь прямоугольника равна :
X = a·b = 6 · 8 = 48 см²

#SPJ1