Question

Умоляю очень срочно!!! (задание на скрине)

Answer 1

Ответ:

Задание 1.

• a) y' = 28x³+6;
• б) y' = cos x(3x²-2x) - sin x(x³-x²);
• в) y' = (cos x(4-x²) + sin x * 2x) / ((4-x²)²);
• г) y' = - 3/(sin²(3x));
• д) y' = (15x²-2x)/(2√(5x³-x²));
• е) y' = 35(7х-3)⁴.

Задание 2.

• Уравнение касательной к графику функции y = 3x⁴-2x³+x в точке х₀=(-1) имеет вид y = -17x - 13.

Задание 3.

• График функции f(x) = 2x²-x⁴ пресекает ось абсцисс в точках x₁=0, x₂=√2 и x₃=(-√2) под углами ∠α = 0°, ∠β ≈ 100° и ∠φ ≈ 80° в каждой из точек соответственно.

Задание 4.

• Если точка движется по закону x(t)=2t⁴-3t²+4t, то мгновенная скорость в момент времени t = 2c будет равна 56 метров в секунду.

Объяснение:

Теория:

• Правила нахождения производных, которые будут использоваться:

$\large \boldsymbol {} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} f(x)&\cos x&\sin x &\text{ctg\ x}&\sqrt[n]{x} &x^{n} &x&c\cline{9-16} f'(x)&-\sin x&\cos x&-\frac{1}{\sin^2x } &\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1} } } &nx^{n-1} &1&0 \cline{9-16} \end{array}$

*где х - переменная, с - постоянная.

• Правила нахождения производных суммы, разности, произведения, дробных и сложных функций:

$\large \boldsymbol {} \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{6-10} f(x)&f(x)\pm g(x)&\frac{u}{v} &u\cdot v&f(g(x))\cline{6-10} f'(x)&f'(x)\±g'(x)&\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} &u'\cdot v+u\cdot v'&f'(x)\cdot g'(x) \cline{6-10} \end{array}$

Задание 1.

$a) \ y=7x^4+6x-5 \\\\ y'=(7x^4+6x-5)' = 7\cdot4x^{4-1} + 6\cdot 1-0 = \boxed{28x^3+6} \\\\\\ b) \ y=(x^3-x^2)\cos x \\\\ y'=((x^3-x^2)\cos x)'=(x^3-x^2)'\cdot\cos x+(x^3-x^2)\cdot (\cos x)' =(3x^{3-1} - \\\\ - 2x^{2-1} )\cdot \cos x + (x^3-x^2)\cdot (-\sin x) = \boxed {\cos x(3x^2-2x)-\sin x(x^3-x^2)}$

$\displaystyle v) \ y=\frac{\sin x}{4-x^2} \\\\ y'=\bigg(\frac{\sin x}{4-x^2} \bigg)' = \frac{(\sin x)'\cdot (4-x^2)-\sin x\cdot (4-x^2)'}{(4-x^2)^2} = \\\\= \frac{\cos x(4-x^2)-\sin x((4)'-(x^2)')}{(4-x^2)^2} =\boxed{\frac{\cos x(4-x^2)+\sin x \cdot 2x}{(4-x^2)^2} }\\\\\\ g) \ y= \text {ctg 3x} \\\\ y'= (\text {ctg 3x} )'= -\frac{1}{\sin^23x} \cdot (3x)'= -\frac{1}{\sin^23x} \cdot 3 \cdot 1= \boxed{-\frac{3}{\sin^23x}}$

$\displaystyle d) \ y=\sqrt{5x^3-x^2} \\\\ y' =(\sqrt{5x^3-x^2} )' = \frac{1}{2\sqrt{5x^3-x^2} }\cdot (5x^3-x^2)'= \frac{1}{2\sqrt{5x^3-x^2} } \cdot \\\\ \cdot ((5x^3)' - (x^2)'= \frac{1}{2\sqrt{5x^3-x^2} } \cdot (5\cdot3x^{3-1} - 2x^{2-1})= \boxed{ \frac{15x^2-2x}{2\sqrt{5x^3-x^2} }} \\\\\\ e) \ y=(7x-3)^5 \\\\ y' = ((7x-3)^5 )'= 5\cdot(7x-3)^{5-1} \cdot (7x-3)'= 5(7x-3)^4\cdot 7=\boxed{35(7x-3)^4}$

Задание 2.

Вспоминаем общий вид уравнения касательной:

$\bf {}y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Находим производную функции y = 3x⁴-2x³+x и её значение в точке х₀.

$y'=(3x^4-2x^3+x)'=3\cdot 4x^{4-1}-2\cdot3x^{3-1}+1=12x^3-6x^2+1 \\\\ y'(x_0)=y(-1)=12\cdot(-1)^3-6\cdot(-1)^2+1=12\cdot(-1)-6\cdot 1+1=-12-5=-17$

Находим значение функции в точке х₀.

$y(x_0)=y(-1)= 3\cdot (-1)^4-2\cdot(-1)^3+(-1)=3\cdot1-2\cdot(-1)-1=\\\\ = 3+2-1 = 4$

Мы имеем у(х₀), у'(х₀) и х₀. Подставляем в общую формулу уравнения касательной.

${}y_k=-17\big(x-(-1)\big)+4 \\\\ y_k=-17x-17+4\\\\ \boxed{y_k=-17x-13}$

Уравнение касательной к графику функции y = 3x⁴-2x³+x в точке х₀=(-1) имеет вид y = -17x - 13.

Задание 3.

График функции пересекает ось абсцисс в точке, где значение функции у = 0. Тогда находим координату х точки, в которой график функции f(x) = 2x²-x⁴ пересекает ось абсцисс.

$y=0 \Longrightarrow 2x^2-x^4=0 \\\\ x^2(2-x^2)=0\\\\ x^2=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2-x^2=0 \\\\ x_1=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3=-\sqrt{2}$

Мы имеем три точки пресечения графика функции f(x) = 2x²-x⁴ с осью абсцисс. Значит, нам нужно найти три угла.

Тангенс наклона касательной к графику функции в точке х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀. Находим производную функции:

$y=2x^2-x^4 \\\\ y'=2\cdot2x^{2-1}-4x^{4-1}=4x-4x^3$

Находим ∠α - первый угол пресечения графика функции и оси абсцисс в точке х=0.

$\text{tg } \alpha =y'(0)=4\cdot0-4\cdot0^3=0-4\cdot0=0 \\\\ \text{tg } \alpha =0 \Longrightarrow \boxed{ \angle\alpha =0^\circ}$

Находим второй угол.$\text{tg }\beta= y'(\sqrt{2})=4\cdot \sqrt{2}-4\cdot(\sqrt{2})^3 =4\sqrt{2}-4\cdot2\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}-8\sqrt{2}=-4\sqrt{2} \\\\ \text{tg }\beta= -4\sqrt{2} \Longrightarrow\boxed{ \angle\beta =\text{arctg} (-4\sqrt{2}) \approx 100^\circ}$

Находим третий угол.

$\text{tg }\varphi=y'(-\sqrt{2})=4\cdot (-\sqrt{2})-4\cdot(-\sqrt{2})^3 =-4\sqrt{2}-4\cdot2\cdot(-\sqrt{2})=\\\\=-4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=4\sqrt{2} \\\\ \text{tg }\varphi=4\sqrt{2} \Longrightarrow\boxed{ \angle\varphi =\text{arctg} (4\sqrt{2}) \approx 80^\circ}$

График функции f(x) = 2x²-x⁴ пресекает ось абсцисс в точках x₁=0, x₂=√2 и x₃=(-√2) под углами ∠α = 0°, ∠β ≈ 100° и ∠φ ≈ 80° в каждой из точек соответственно.

Решение задания №4 в прикреплённом файле.

#SPJ1