Question

С помощью производной найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке:

2) y=2x-5/x^2-4; x принадлежит [3:5]

Answer 1

Ответ:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке [3; 5]:

у наим. = 5/21;

у наиб. = 1;

Объяснение:

С помощью производной найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке:

$\displaystyle \bf y=\frac{2x - 5}{x^2-4}$ ,   x ∈ [3: 5]

Найдем значение функции на концах отрезка.

х = 3

$\displaystyle \bf y(3)=\frac{2\cdot3-5}{3^2-4} =\frac{1}{5}$

х = 5

$\displaystyle \bf y(5)= \frac{2\cdot5-5}{5^2-4} =\frac{5}{21}$

Найдем экстремумы.

Найдем производную по формуле:

$\boxed {\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

$\displaystyle \bf y'=\frac{(2x - 5)'(x^2-4)-(2x-5)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=\\\\=\frac{2(x^2-4)-(2x-5)\cdot{2x}}{(x^2-4)^2} =\frac{2x^2-8-4x^2+10x}{(x^2-4)^2} =\\\\=\frac{-2x^2+10x-8}{(x^2-4)^2} =\frac{-2(x^2-5x+4)}{((x-2)(x+2))^2}$

Приравняем производную к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

$\displaystyle \bf \frac{-2(x^2-5x+4)}{((x-2)(x+2))^2}=0$

ОДЗ: х ≠ 2; х ≠ -2

$\displaystyle \bf x^2-5x+4=0$

По теореме Виета:

х₁ = 1; х₂ = 4

Знаменатель положителен. Поэтому смотрим только знак числителя:

$---[1]+++[4]---$

⇒ x min = 1;   x max = 4.

Найдем значение функции в данных точках:

$\displaystyle \bf y(1)=\frac{2-5}{1-4} =1\\\\y(4)=\frac{8-5}{16-4}=\frac{3}{12} =\frac{1}{4}$

Из четырех значений выберем наибольшее:

у наиб. = 1

и наименьшее:

у наим. = 5/21.