Question

Сократите дробь
$frac{ x^{2} -4x+1}{ x^{2} -(2+ sqrt{3})x+7+4sqrt{3} }$

Answer 1

$frac{x^2 - 4x + 1}{x^2-2(2+sqrt{3})x + 7+4sqrt{3}} = \\ 1. x^2 - 4x + 1 = 0\\ D = 16 - 4 = 12\\ x_1 = frac{4 - sqrt{12}}{2} = frac{4 - 2sqrt{3}}{2} = 2 - sqrt{3}\\ x_2 = frac{4 + sqrt{12}}{2} = frac{4 + 2sqrt{3}}{2} = 2 + sqrt{3}\\ x^2 - 4x + 1 = (x - 2 + sqrt{3}) (x - 2 - sqrt{3})$

$2. x^2-2(2+sqrt{3})x + 7+4sqrt{3}\\ x^2 - 2(2+sqrt{3})x + 4 + 4sqrt{3} + 3\\ x^2 - 2(2+sqrt{3})x + 2^2 + 2*2sqrt{3} + (sqrt{3})^2\\ x^2- 2(2+sqrt{3})x + (2 + sqrt{3})^2\\ (x - (2 + sqrt{3}))^2 \\ = frac{(x - 2 + sqrt{3})(x - 2 - sqrt{3})}{(x - 2 - sqrt{3})^2} = boxed{frac{x - 2 + sqrt{3}}{x - 2 - sqrt{3}}}$

Ежели тут знаменатель, как указано в условии, то сократить ничего не удастся, ибо у него комплексные корни.

$x^2-(2+sqrt{3})x + 7+4sqrt{3} = 0\\ D = (2 + sqrt{3})^2 - 4*(7+4sqrt{3}) = (2 + sqrt{3})^2 - 4*(2 + sqrt{3})^2 =\\= (1 - 4)(2 + sqrt{3})^2 = -3(2 + sqrt{3})^2 < 0$

Answer 2

Замечательно!спасибо, всё понял