Question

найдите cos(a-b) , sin(a+b) ,tg(a-b),если sina=6/7,sinb=7/8 и а,b принадлежат первой четверти ​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Формулы синуса и косинуса суммы и разности:

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

По условию известно:

$\sin a=\dfrac{6}{7} ;\ \sin b=\dfrac{7}{8}$

Учитывая, что в первой четверти все тригонометрические функции положительны, из основного тригонометрического тождества получим:

$\cos a=\sqrt{1-\sin^2a} =\sqrt{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^2 } =\sqrt{1-\dfrac{36}{49} } =\sqrt{\dfrac{13}{49} } =\dfrac{\sqrt{13} }{7}$

$\cos b=\sqrt{1-\sin^2b} =\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{8}\right)^2 } =\sqrt{1-\dfrac{49}{64} } =\sqrt{\dfrac{15}{64} } =\dfrac{\sqrt{15} }{8}$

Находим косинус разности:

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b=\dfrac{\sqrt{13} }{7} \cdot\dfrac{\sqrt{15} }{8} +\dfrac{6 }{7} \cdot\dfrac{7 }{8}=$

$=\dfrac{\sqrt{13}\cdot\sqrt{15} }{7\cdot8} +\dfrac{6\cdot7 }{7\cdot8} =\dfrac{\sqrt{195} }{56} +\dfrac{42 }{56} =\boxed{\dfrac{\sqrt{195}+42 }{56}}$

Находим синус суммы:

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\con a\sin b=\dfrac{6 }{7} \cdot\dfrac{\sqrt{15} }{8} +\dfrac{\sqrt{13} }{7}\cdot\dfrac{7 }{8}=$

$=\dfrac{6\cdot\sqrt{15} }{7\cdot8} +\dfrac{\sqrt{13}\cdot7 }{7\cdot8} =\dfrac{6\sqrt{15} }{56} +\dfrac{7\sqrt{13} }{56} =\boxed{\dfrac{6\sqrt{15}+7\sqrt{13} }{56}}$

Найдем также синус разности:

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b= \dfrac{6 }{7} \cdot\dfrac{\sqrt{15} }{8} -\dfrac{\sqrt{13} }{7}\cdot\dfrac{7 }{8}=\dfrac{6\sqrt{15}-7\sqrt{13} }{56}$

Найдем тангенс разности:

$\mathrm{tg}\,(a-b)=\dfrac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)} =\dfrac{6\sqrt{15}-7\sqrt{13} }{56}:\dfrac{\sqrt{195}+42 }{56}=\boxed{\dfrac{6\sqrt{15}-7\sqrt{13} }{\sqrt{195}+42}}$