Question

1) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31.

2) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если значение суммы первого и третьего членов равно 49,2, а значение разности первого и третьего членов равно -15,6.

3) Найдите значение суммы первых пяти членов арифметической прогрессии, если а₂+а₄= 3,4.​

Answer 1

Ответ:

1) d = 2, a₁ = 8,5

2) b₁ = 16,8; q = $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$

3) S₅ = 8,5

Объяснение:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀1)

Дано: {aₙ} – ариф. прогрессия.

а₁ + а₄ = 23

а₃ + а₆ = 31

Найти: d - ?, a₁ -?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

Составим систему.

$\displaystyle \left \{ {{a_1+a_4=23} \atop {a_3+a_6=31}} \right.$

Формула n-го члена арифметической прогрессии:$\displaystyle a_n=a_1+d(n-1)$

$\displaystyle a_4=a_1+3d$

$\displaystyle a_3=a_1+2d$

$\displaystyle a_6 = a_1 + 5d$

$\displaystyle\left \{ {{a_1+a_1+3d=23}\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\atop {a_1+2d+a_1+5d=31}} \right.$

Приведем подобные.

$\displaystyle \left \{ {{2a_1+3d=23} \atop {2a_1+7d=31}} \right.$

Решим методом сравнения.

$\displaystyle \left \{ {{2a_1=23-3d} \atop {2a_1=31-7d}} \right.$

В первое уравнение вместо 2а₁ подставим второе выражение.

$\displaystyle 31 - 7d = 23 - 3d$

$\displaystyle -7d+3d=23 - 31$

$\displaystyle -4d = - 8$

$\displaystyle \bf d = 2$

Подставляем в любое уравнение полученный ответ.

$\displaystyle 2a_1= 23 - 3 \:* \:2$

$\displaystyle 2a_1 = 17$

$\displaystyle a_1 = \frac{17}{2} = \bf8,5$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀2)

Дано: {bₙ} – геом. прогрессия.

b₁ + b₃ = 49,2; b₁ - b₃ = -15,6

Найти: b₁ - ?, q - ?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

Также составим систему.

$\displaystyle \left \{ {{b_1+b_3=49,2}\:\: \atop {b_1-b_3=-15,6}} \right.$

Формула n-го члена геометрической прогрессии:$\displaystyle b_n=b_1\:*\: q^{n-1}$

$\displaystyle b_3=b_1\:*\: q^{2}$

$\displaystyle \left \{ {{b_1+b_1\:*\:q^{2}=49,2}\:\: \atop {b_1-b_1\:*\:q^{2}=-15,6}} \right.$

Сложим оба уравнения.

$\displaystyle b_1+ \not b_1 \not q^{2}+b_1- \not b_1 \not q^{2}=49,2-15,6$

$\displaystyle b_1+b_1=33,6$

$\displaystyle 2b_1=33,6$

$\displaystyle b_1=\bf16,8$

Полученное выражение подставим во второе уравнение.

$\displaystyle b_1-b_1q^{2}=-15,6\:\:\Rightarrow\:\: b_1 = 16,8$

$\displaystyle 16,8 - 16,8q^{2}=-15,6$

$\displaystyle - 16,8q^{2}=-15,6-16,8$

$\displaystyle - 16,8q^{2}=-32,4\:\:\: |\: :(-16,8)$

$\displaystyle -32,4= -\frac{ \not324}{ \not10} = -\frac{162}{5}$

$\displaystyle -16,8 = -\frac{ \not168}{ \not10} = \frac{84}{5}$

$\displaystyle - \frac{ 162}{ 5} : \bigg( - \frac{84}{5} \bigg) = - \frac{162}{ \not5} \:*\: \bigg( - \frac{ \not5}{84} \bigg) = \\\\ = \frac{ \not162}{ \not84} = \frac{27}{14} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

$\displaystyle q^{2}=\frac{27}{14}$

$\displaystyle q=\bf \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀3)

Дано: {аₙ} – ариф. прогрессия.

а₂ + а₄ = 3,4

Найти: S₅ - ?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

$\displaystyle a_n=a_1+d(n-1)$

$\displaystyle a_2=a_1+d$

$\displaystyle a_4=a_1+3d$

$\displaystyle a_1+d+a_1+3d=3,4$

$\displaystyle 2a_1+4d=3,4$

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:$\displaystyle \boxed{\tt S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \:*\:n}$

$\displaystyle S_5=\frac{a_1+a_5}{2} \:*\:5$

Распишем a₅ как а₁ + 4d.

$\displaystyle S_5=\frac{a_1+a_1+4d}{2} \:*\:5$

$\displaystyle S_5=\frac{2a_1+4d}{2} \:*\:5$

$\displaystyle S_5=\frac{3,4}{2} \:*\:5$

$\displaystyle S_5=1,7\:*\:5$

$\displaystyle S_5=\bf8,5$