Question

Вычислите
$3tg^{2} (\frac{3\pi }{4} -\alpha )$

если
$sin2a=-\frac{1}{3}$

Answer 1

Ответ:

держи думаю правільно.

Answer 2

Ответ:

$sin2\alpha =-\dfrac{1}{3}\ \ ,\ \ 3tg^2\Big(\dfrac{3\pi }{4}-\alpha \Big)-?\\\\\\tg\Big(\dfrac{3\pi }{4}-\alpha \Big)=\dfrac{tg\frac{3\pi }{4}-tg\alpha }{1+tg\frac{3\pi }{4}\cdot tg\alpha }=\dfrac{-1-tg\alpha }{1-tg\alpha }=-\dfrac{1+tg\alpha }{1-tg\alpha }$  

Представим tgα  через  sin2α  .

$tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }=\dfrac{sin\alpha \cdot 2cos\alpha }{cos\alpha \cdot 2cos\alpha }=\dfrac{sin2\alpha }{2cos^2\alpha }=\dfrac{sin2\alpha }{(2cos^2\alpha -1)+1}=\dfrac{sin2\alpha }{cos2\alpha +1}$  

Зная значение sin2α , найдём  cos2α .

$cos^22\alpha =1-sin^22\alpha =1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}\ \ \Rightarrow \ \ \ cos2\alpha =\pm \dfrac{2\sqrt2}{3}$  

Так как   sin2α <0 , то  180°<2α< 360° ,  a   cos2α может принадлежать как 3 четверти, где cos2α<0 , так и 4 четверти, где cos2α>0 .

Рассмотрим два случая .

$\displaystyle a)\ \ cos2\alpha =-\dfrac{2\sqrt2}{3}\ \ ,\ \ sin2\alpha =-\dfrac{1}{3}\\\\\\tg\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha +1}=\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt2}{3}+1}}=\frac{-1}{3-2\sqrt2}=-\frac{3+2\sqrt2}{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)}=\\\\=-\frac{3+2\sqrt2}{9-8}=-(3+2\sqrt2)=-3-2\sqrt2\\\\\\tg\Big(\frac{3\pi}{4}-\alpha \Big)=-\frac{1+tg\alpha }{1-tg\alpha }=-\frac{1-3-2\sqrt2}{1+3+2\sqrt2}=-\frac{-2-2\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}$  

$\displaystyle 3tg^2\Big(\frac{3\pi}{4}-\alpha \Big)=3\cdot \Big(\frac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}\Big)^2=3\cdot \frac{(1+\sqrt2)^2}{(2+\sqrt2)^2}=3\cdot \frac{3+2\sqrt2}{6+4\sqrt2}=\\\\\\=3\cdot \frac{3+2\sqrt2}{2\cdot (3+2\sqrt2)}=\frac{3}{2}=\boxed{\bf 1,5}$  

$\displaystyle b)\ \ cos2\alpha =\dfrac{2\sqrt2}{3}\ \ ,\ \ sin2\alpha =-\dfrac{1}{3}\\\\\\tg\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha +1}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt2}{3}+1}}=\frac{-1}{3+2\sqrt2}=-\frac{3-2\sqrt2}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}=\\\\=-\frac{3-2\sqrt2}{9-8}=-(3-2\sqrt2)=2\sqrt2-3\\\\\\tg\Big(\frac{3\pi}{4}-\alpha \Big)=-\frac{1+tg\alpha }{1-tg\alpha }=-\frac{1+2\sqrt2-3}{1+3-2\sqrt2}=-\frac{-2+2\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{2-2\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{1-\sqrt2}{2-\sqrt2}$

$\displaystyle 3tg^2\Big(\frac{3\pi}{4}-\alpha \Big)=3\cdot \Big(\frac{1-\sqrt2}{2-\sqrt2}\Big)^2=3\cdot \frac{(1-\sqrt2)^2}{(2-\sqrt2)^2}=3\cdot \frac{3-2\sqrt2}{6-4\sqrt2}=\\\\\\=3\cdot \frac{3-2\sqrt2}{2\cdot (3-2\sqrt2)}=\frac{3}{2}=\boxed{\bf 1,5}$  

В обоих случаях получили один и тот же ответ.

Ответ:  $\boldsymbol{3tg^2\Big(\dfrac{3\pi}{4}-\alpha \Big)=1,5}$  .