Question

знайдіть загальний вигляд первісних для функції
1) f(x)= 1 cos3x+2e^1-2x
2) f(x)=10^3x-1-2cos6x
3) f(x)=3sin2x-12\sin^2 2x

Answer 1

Решение.

 Применяем правило: если  $\bf \displaystyle \int f(x)\, dx=F(x)+C$  ,  то  

       $\displaystyle \boldsymbol{\int f(kx+b)\, dx=\dfrac{1}{k}\cdot F(kx+b)+C}$    .

$\displaystyle \bf 1)\ \ f(x)=1\, cos3x+2e^{1-2x}\ \ \Rightarrow \\\\F(x)=\int (cos3x+2e^{1-2x})\, dx=\frac{1}{3}\, sin3x-\frac{2}{2}\, e^{1-2x}+C= \frac{1}{3}\, sin3x-e^{1-2x}+C\\\\\\2)\ \ f(x)=10^{3x-1}-2\, cos6x\\\\\\F(x)=\int (10^{3x-1}-2\, cos6x)\, dx=\frac{1}{3}\, 10^{3x-1}\cdot ln10-\frac{2}{6}\, sin6x +C=\\\\=\frac{1}{3}\, 10^{3x-1}\cdot ln10-\frac{1}{3}\, sin6x +C$

$\displaystyle \bf 3)\ \ f(x)=3\, sin2x-\frac{12}{sin^22x}\\\\\\F(x)=\int (3\, sin2x-\frac{12}{sin^22x})\, dx=-\frac{3}{2}\, cos2x+\frac{12}{2}\, ctg2x+C=\\\\=-\frac{3}{2}\, cos2x+6\, ctg2x+C$