Ответы
Ответ:
Итак, мы выяснили, что действительный корень у нас точно один, и находится он на отрезке x ∈ (5; 7).
Пошаговое объяснение:
x³-6x²-1=0;
уравнение третьей степени, следовательно оно имеет ровно три корня. Вопрос: сколько корней действительных (возможные варианты один или три)?
Определим сколько экстремумов имеет данная функция:
y=x³-6x²-1
ну очевидно, что область определения функции вся числовая ось. Функция непрерывна на всей области определения.
Найдем производную:
y'=(x³-6x²-1)=3x²-12x;
приравняем производную к нулю:
3x²-12x=0; 3x(x-4)=0; x₁=0; x₂=4.
Функция имеет два экстремума. Определим кто из них кто.
Берем вторую производную?
y''=(3x²-12x)'=6x-12;
y''(x₁)=6*0-12=-12<0 следовательно это точка максимума.
Определим значение функции в точке x₁ (точке максимума):
y(x₁)=0-0-1= -1 точка максимума лежит ниже оси абсцисс. Левее максимума функция имеет возрастающий характер, и уходит в -∞, справа от максимума функция имеет убывающий характер и уходит в отрицательные значения вплоть до значения точки минимума. Здесь даже не важно координаты точки минимума (ординате ее явно отрицательна и меньше -1). Важно понять, что после прохождения минимума функция имеет возрастающий характер, и уходит в +∞ и где-то пересекая ось абсцисс. Эта точка пересечения и есть единственный корень (действительный корень) нашего уравнения.
Ну для определенности: y(x₂)=4³-6*4² -1= -33
Попробуем определить промежуток числовой оси (отрезок на оси абсцисс), на котором находится наш корень. Учтем, что абсцисса этой точки точно больше +4 (абсциссы минимума).
Для этого перепишем наше уравнение вот так:
x³=6x²+1; ⇒ x³ ≈ 6x² (при x>4 про единицу можно забыть)
третья степень числа будет равняться 6 вторым степеням 4 при значении x=6. Следовательно наш корень находится на отрезке "от чуть меньше 6 до чуть больше 6". Возьмем некоторый запас, и запишем отрезок вот так:
x ∈ (5; 7).
Итак, мы выяснили, что действительный корень у нас точно один, и находится он на отрезке x ∈ (5; 7).