Question

На переэкзаменовку пришло 11 студентов 1-го курса и 8 студентов 2-го курса. Преподаватель пригласил в аудиторию половину студентов 2-го курса и несколько студентов 1-го курса. Пока студенты готовились, преподаватель подсчитал, что существует 32340.0 способов вызвать студентов таким образом (то есть половину пришедших второкурсников и количество вызванных им первокурсников). Какое наибольшее возможное число студентов 1-го курса преподаватель мог вызвать, чтобы полученное им число вариантов не изменилось? Ответ ввести в виде целого числа.

Answer 1

Ответ:

Из группы студентов 1-го курса на переэкзаменовку преподаватель пригласил 5 человек

Пошаговое объяснение:

Половина студентов 2-го курса - это 4 из 8. Количество вариантов вызвать их равно:

$C^4_8=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}=\dfrac{8!}{4!4!} = \dfrac{8*7*6*5}{4*3*2*1} =70$

А всего по подсчету преподавателя существует 32340 вариант. Следовательно вариантов вызвать студентов первого курса равно:

$C^x_{11}=\dfrac{32340}{70} =462$

$C^x_{11}=\dfrac{11!}{x!(11-x)!}$

$462=\dfrac{11!}{x!(11-x)!}$

$x!(11-x)! = \dfrac{11!}{462}$

462 разложим на множители:

462 = 2*3*7*11

На все эти множители сократим 11! из правой части уравнения:

$\dfrac{11!}{462} =10*9*8*6*5*4$

Оставшиеся множители в правой части разложим мельче:

(2*5)*(3*3)*(2*2*2)*(3*2)*5*(2*2)

и перегруппируем:

(2*3*2*2*5)*(2*3*2*2*5*2*3) = 5!*6!

Получаем:

x!(11-x)! = 5!*6!

x!(11-x)! = 5!*(11-5)!

x = 5 - студентов 1-го курса пригласил преподаватель

Проверим:

$C^5_{11}=\dfrac{11!}{5!(11-5!)} =\dfrac{11!}{5!6!} =\dfrac{11*10*9*8*7}{5*4*3*2*1} =11*3*2*7 = 462$

#SPJ1