Question

Высоты параллелограмма равны 3 и 4 см. Угол между ними равен 60°. Найдите большую сторону параллелограмма.​

Answer 1

Ответ:

Наибольшая сторона параллелограмма равна $\textit { \boldsymbol{ \dfrac{8\sqrt{3} }{3}} }$ см

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, BK ⊥ AD, BF ⊥ CD, BK = 3 см,

BF = 4 см, ∠KBF = 60°

Найти: AB,BC - ?

Решение:

Так как по условию BK ⊥ AD и BF ⊥ CD, то угол ∠BKA = ∠BKD = 90° и угол ∠BFD = ∠BFC = 90°.

Четырехугольник BKDF - выпуклый, тогда по теореме сумма углов выпуклого четырех угольника равна 360°, следовательно

∠BKD + ∠BFD + ∠KBF + ∠ADC = 360° ⇒ ∠ADC =

= 360° - ∠BKD - ∠BFD - ∠KBF =  360° - 90° - 90° - 60° = 120°.

По определению параллелограмма (ABCD) его противоположные стороны параллельны, тогда AD║BC, угол ∠ADC и ∠BCD являются односторонними при параллельных прямых и секущей (AD║BC;ВС - секущая), следовательно по теореме угол ∠ADC + ∠BCD = 180° ⇒

⇒ ∠BCD = 180° - ∠ADC = 180° - 120° = 60°.

По свойствам параллелограмма (ABCD) его противоположные углы равны, тогда ∠BCD = ∠BAD = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBAK (по условию BK ⊥ AD):

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \angle BAD = \dfrac{BK}{AB} \Longrightarrow AB = \dfrac{BK}{\sin \angle BAD} = \dfrac{3}{\sin 60^{\circ}} = \cfrac{\dfrac{3}{1} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } = \dfrac{6}{\sqrt{3} } = \dfrac{6\sqrt{3} }{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } =$

$= \dfrac{6\sqrt{3} }{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBCF (по условию BF ⊥ CD):

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \angle BCD = \dfrac{BF}{BC} \Longrightarrow BC = \dfrac{BF}{\sin \angle BCD} = \dfrac{4}{\sin 60^{\circ}} = \cfrac{\dfrac{4}{1} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } = \dfrac{8}{\sqrt{3} } = \dfrac{8\sqrt{3} }{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } =$

$= \dfrac{8\sqrt{3} }{3}$ см.

Так как BC > AB $\bigg(\dfrac{8\sqrt{3} }{3} > 2\sqrt{3} \bigg)$, то наибольшая сторона параллелограмма это BC.