Question

Гіпотенуза прямокутного трикутника 30 см, а один з
катетів 15 см. Знайдіть величину кута між висотою і
медіаною, що проведена до гіпотенузи.

Answer 1

Відповідь:

Величину кута між висотою і медіаною, що проведена до гіпотенузи дорівнює 30°

Пояснення:

Дано: AB = 30 см, AC = 15 см, CM - медіана, CK - висота, ∠ACB = 90°

Знайти: ∠KCM - ?

Розв'язання:

Так кут ∠ACB = 90° за умовою, то трикутник ΔABC - прямокутний.

За властивостями прямокутного трикутника (трикутник ΔABC - прямокутний) медіана проведена до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи, отже CM = AB : 2 = 30 : 2 = 15 см.

За наслідком з теореми Піфагора для трикутника ΔABC:

$BC= \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{30^{2} - 15^{2}} = \sqrt{900 - 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$ см.

За формулами площі для трикутника ΔABC:

$\displaystyle \left \{ {{S_{\Delta ABC} = \dfrac{CK \cdot AB}{2} } \atop {S_{\Delta ABC} = \dfrac{AC \cdot BC}{2}}} \right \Longrightarrow \dfrac{CK \cdot AB}{2} =\dfrac{AC \cdot BC}{2}$

$\dfrac{CK \cdot AB}{2} =\dfrac{AC \cdot BC}{2} \bigg | \cdot 2$

$CK \cdot AB = AC \cdot BC \Longrightarrow CK = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} = \dfrac{15 \cdot 15\sqrt{3} }{30} = \dfrac{15\sqrt{3} }{2}$ см.

Так як за умовою CK - висота, то CK ⊥ AB, отже трикутник ΔCKM - прямокутний з прямим кутом ∠CKM.

За означенням косинуса у прямокутному трикутник ΔCKM:

$\cos \angle KCM = \dfrac{CK}{CM} = \dfrac{\dfrac{15\sqrt{3} }{2}}{\dfrac{15}{1} } = \dfrac{15\sqrt{3} }{2 \cdot 15} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \Longrightarrow \angle KCM = \arccos (\cos \angle KCM)=$

$= \arccos \bigg( \dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg) = 30^{\circ}$.