Question

Сторони паралелограма дорівнюють 5 і 4 см відповідно, а кут між ними складає 120°. Чому дорівнюють діагоналі паралелограма?​

Answer 1

Ответ:

Диагонали параллелограмма равны $\boldsymbol{\sqrt{61} }$ см и $\boldsymbol{\sqrt{21} }$ см

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, BC = 5 см, AB = 4 см

Найти: AC,BD - ?

Решение:

По следствию из теоремы косинусов для треугольника ΔABC:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC } = \sqrt{4^{2} +5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 120^{\circ} } =$

$= \sqrt{16 + 25- 2 \cdot 20 \cdot (-0,5) } = \sqrt{41 + 20} = \sqrt{61}$ см.

По тождеству параллелограмма (по условию ABCD - параллелограмм):

$2AB^{2} + 2BC^{2} = AC^{2} + BD^{2}$

$2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 5^{2} = (\sqrt{61} )^{2} + BD^{2}$

$32 + 50 = 61 + BD^{2}$

$BD^{2} = 21 \Longrightarrow BD = \sqrt{21}$ см.