Question

Исследуйте на возрастание(убывание) и на экстремумы функцию f(x)=2xlnx

Answer 1

Область определения функции: x > 0

Находим первую производную функции, используя правило дифференцирования произведения двух функций

$f'(x)=(2xln x)'=(2x)'ln x+2xcdot(ln x)'=2ln x+2xcdotdfrac{1}{x}=2ln x+2$

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

$2ln x+2=0\ ln x+1=0\ ln x+ln e=ln 1\ ln(xe)=ln 1\ xe=1\ x=e^{-1}$

(0)____-__(e⁻¹)___+____

Функция убывает на промежутке x ∈ (0 ; e⁻¹), а возрастает на промежутке x ∈ (e⁻¹; +∞).

В окрестности точки x = e⁻¹ производная функции меняет знак с "-" на "+". Следовательно, точка x = e⁻¹ — точка минимума.