Question

Даю 90 балів!!! Розв'яжіть 9 та 10 рівняння.

Answer 1

Ответ.

1)  Иррациональное уравнение   $x-2=\sqrt{2x-1}$   равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l}x-2\geq 0\\2x-1=(x-2)^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq 2\\2x-1=x^2-4x+4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq 2\\x^2-6x+5=0\end{array}\right$  

По теореме Виета подберём корни квадр. уравнения:  $x_1=1\ ,\ x_2=5\ .$

Учитывая 1-ое неравенство  в ответ запишем  $\bf x=5\ .$

2)  Тригонометрическое уравнение. Применим основное тригон-ое тождество:  $sin^2x+cos^2x=1$  .

$2\, cos^2x+5sinx-4=0\ \ \Rightarrow \ \ \ 2\, (1-sin^2x)+5sinx-4=0\ \ ,\\\\-2sin^2x+5sinx-2=0\ \ ,\ \ 2sin^2x-5sinx+2=0\ \ ,\ \ -1\leq sinx\leq 1\ ,\\\\D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9\ ,\\\\(sinx)_{1}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ (sinx)_2=\dfrac{5+3}{4}=2 > 1\ -\ ne\ podxodit\\\\sinx=\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \boldsymbol{x=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi }{6}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z}\ -\ otvet$