Question

Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-П; 2П]

Answer 1

Перепишем уравнение, учитывая, что $tg2x=frac{sin2x}{cos2x}$

$frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x$ -----(1)

В уравнение (1) выражение $cos2x$ находится в знаменателе, поэтому $cos2xneq0$, или  $2xneq<var>frac{pi}{2}+pi*m</var>$, $m$ - целое

или  $xneq<var>frac{pi}{4}+<var>frac{<var><var>pi*m</var></var>}{2}</var></var>$, $m$ - целое-----(2)

Сократим в левой части уравнения (1) на $cos2x$:

  $sin2x=sin2x+sin4x$, отсюда $sin4x=0$, отсюда

  $4x=pi*n$, или $x=frac{pi*n}{4}$, $n$ - целое ------(3)

Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

 $x=frac{pi*n}{4}</var>neq<var><var>frac{pi}{4}+<var>frac{<var><var>pi*m</var></var>}{2}</var></var>$, отсюда

  $pi*n</var>neq<var><var>pi+<var><var><var>2pi*m</var></var></var></var>$, сокращая на $pi$, получим

  $n</var>neq<var><var>1+<var><var><var>2*m</var></var></var></var>$ - нечетные числа 

Другими словами $n$ принимает только четные значения!

 Из условия следует, что $-pi leqfrac{pi*n}{4}leq2pi$, отсюда

    $-4 leq n leq 8$

Таким образом, $n$ принимает значения ${-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}$

Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом $a_{1}=-pi$ и последним седьмым членом

 $a_{7}=frac{8*pi}{4}=2pi$ 

Теперь мы можем найти сумму $S$ всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии: 

$S=7*frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*frac{-pi+2pi}{2}=3,5*pi$